Упростите выражение: 3 – 4 cos 2x + cos 4α

Пошаговое решение:

• Начнем с выражения: \[ 3 - 4 \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) \]
• Применим формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos(4\alpha) = 2 \cos^2(2\alpha) - 1 \]
• Подставим в исходное выражение: \[ 3 - 4 \cos(2\alpha) + 2 \cos^2(2\alpha) - 1 \]
• Упростим: \[ 2 \cos^2(2\alpha) - 4 \cos(2\alpha) + 2 \]
• Вынесем 2 за скобки: \[ 2(\cos^2(2\alpha) - 2 \cos(2\alpha) + 1) \]
• Заметим, что в скобках полный квадрат: \[ 2(\cos(2\alpha) - 1)^2 \]
• Теперь вспомним формулу: \[ 1 - \cos(2\alpha) = 2 \sin^2(\alpha) \] Тогда: \[ \cos(2\alpha) - 1 = -2 \sin^2(\alpha) \]
• Подставим это в наше выражение: \[ 2(-2 \sin^2(\alpha))^2 \]
• Упростим: \[ 2(4 \sin^4(\alpha)) \]
• Получаем: \[ 8 \sin^4(\alpha) \]

Ответ: 8sin⁴α