4. Упростите выражение $$4\frac{2}{3}k - k + \frac{1}{12}k + 1$$ и найдите его значение при $$k = \frac{8}{19}$$.

Сначала упростим выражение:

1. Приведем смешанную дробь к неправильной: $$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$$.
2. Соберем все члены с k: $$\frac{14}{3}k - k + \frac{1}{12}k = \frac{14}{3}k - \frac{3}{3}k + \frac{1}{12}k = \frac{11}{3}k + \frac{1}{12}k$$.
3. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{11}{3}k = \frac{11 \cdot 4}{3 \cdot 4}k = \frac{44}{12}k$$.
4. Сложим дроби: $$\frac{44}{12}k + \frac{1}{12}k = \frac{45}{12}k$$.
5. Сократим дробь: $$\frac{45}{12}k = \frac{15}{4}k$$.
6. Подставим значение k: $$\frac{15}{4} \cdot \frac{8}{19} = \frac{15 \cdot 8}{4 \cdot 19} = \frac{120}{76}$$.
7. Сократим дробь: $$\frac{120}{76} = \frac{60}{38} = \frac{30}{19} = 1\frac{11}{19}$$.
8. Добавим оставшуюся единицу: $$1\frac{11}{19} + 1 = 2\frac{11}{19}$$.

Ответ: $$2\frac{11}{19}$$