Упростите выражение \frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} Чему равен общий знаменатель дробей?

Решение:

Для начала, давай вспомним, что такое общий знаменатель. Это число, которое делится на знаменатели обеих дробей. В нашем случае, знаменатели дробей это (\sqrt{7}+\sqrt{2}) и (\sqrt{7}-\sqrt{2}). Общим знаменателем будет произведение этих двух знаменателей.

Теперь посмотрим, чему это произведение равно:

\[(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})\]

Здесь можно применить формулу разности квадратов: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. В нашем случае a = \sqrt{7} и b = \sqrt{2}. Тогда:

\[(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5\]

Общий знаменатель равен 5.

Теперь упростим выражение. Приведем дроби к общему знаменателю, для этого первую дробь умножим на (\sqrt{7}-\sqrt{2}), а вторую на (\sqrt{7}+\sqrt{2}).

\[\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5} - \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{5} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7}+\sqrt{2})^2}{5}\]

Раскроем скобки:

\[\frac{(7 - 2\sqrt{7}\sqrt{2} + 2) - (7 + 2\sqrt{7}\sqrt{2} + 2)}{5} = \frac{9 - 2\sqrt{14} - 9 - 2\sqrt{14}}{5} = \frac{-4\sqrt{14}}{5}\]

Возведем значение выражения в квадрат:

\[(\frac{-4\sqrt{14}}{5})^2 = \frac{16 \cdot 14}{25} = \frac{224}{25} = 8.96\]

Ответ: 8.96

Не переживай, если сразу не получилось! Главное — практика и внимательность. У тебя все получится!