Упростите выражение: \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} * (x - y)

Ответ: \(\frac{(x-y)^2}{x+y}\)

Разбираемся:

Для начала упростим дробь в скобках:

Шаг 1: Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю:

\(\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} = \frac{\frac{x^2 - y^2}{xy}}{\frac{x^2 + y^2}{xy}}\)

Шаг 2: Разделим первую дробь на вторую, перевернув вторую дробь и умножив:

\(\frac{\frac{x^2 - y^2}{xy}}{\frac{x^2 + y^2}{xy}} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \cdot \frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\)

Шаг 3: Разложим числитель как разность квадратов:

\(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2}\)

Шаг 4: Умножим полученное выражение на \((x - y)\):

\(\frac{(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot (x - y) = \frac{(x - y)^2(x + y)}{x^2 + y^2}\)

Шаг 5: Упростим выражение.

Получаем:

\(\frac{(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot (x - y) = \frac{(x-y)(x+y)(x-y)}{(x^2+y^2)}\)

Шаг 6: Сократим \((x+y)\) в числителе и знаменателе:

\(\frac{(x-y)(x+y)}{(x^2+y^2)} \cdot (x-y) = \frac{(x-y)^2}{x+y} \cdot \frac{x+y}{x^2+y^2}\)

Итог:

\(\frac{(x-y)^2}{x+y}\)

Ответ: \(\frac{(x-y)^2}{x+y}\)