Упростите рациональное выражение: (25m²-9)/(16m² - 8m + 1) : (5m-3)/(4m-1) - (2m-3)/(4m+1)

Решение:

Для упрощения выражения выполним следующие шаги:

1. Представим деление как умножение на обратную дробь: \[ \frac{25m^2-9}{16m^2 - 8m + 1} \div \frac{5m-3}{4m-1} = \frac{25m^2-9}{16m^2 - 8m + 1} \times \frac{4m-1}{5m-3} \]
2. Разложим числитель первой дроби на множители как разность квадратов: \( 25m^2 - 9 = (5m)^2 - 3^2 = (5m-3)(5m+3) \).
3. Разложим знаменатель первой дроби на множители (полный квадрат): \( 16m^2 - 8m + 1 = (4m-1)^2 \).
4. Подставим разложенные множители в выражение: \[ \frac{(5m-3)(5m+3)}{(4m-1)^2} \times \frac{4m-1}{5m-3} \]
5. Сократим общие множители \( (5m-3) \) и \( (4m-1) \): \[ \frac{5m+3}{4m-1} \]
6. Теперь выполним вычитание: \[ \frac{5m+3}{4m-1} - \frac{2m-3}{4m+1} \]
7. Приведём дроби к общему знаменателю \( (4m-1)(4m+1) = 16m^2 - 1 \): \[ \frac{(5m+3)(4m+1) - (2m-3)(4m-1)}{(4m-1)(4m+1)} \]
8. Раскроем скобки в числителе: \[ (20m^2 + 5m + 12m + 3) - (8m^2 - 2m - 12m + 3) \] \[ (20m^2 + 17m + 3) - (8m^2 - 14m + 3) \] \[ 20m^2 + 17m + 3 - 8m^2 + 14m - 3 \] \[ 12m^2 + 31m \]
9. Полное выражение: \[ \frac{12m^2 + 31m}{16m^2 - 1} \]

Среди предложенных вариантов ответов, этот результат соответствует одному из них.

Ответ: \( \frac{12m^2 + 31m}{16m^2 - 1} \).