Упростите рациональное алгебраическое выражение: \frac{\frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} =

Для упрощения рационального алгебраического выражения необходимо выполнить следующие действия:

1. Привести дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю.
2. Выполнить вычитание дробей в числителе и знаменателе.
3. Разделить полученную дробь на дробь, для этого перевернуть вторую дробь и умножить на первую.
4. Сократить полученную дробь, если это возможно.

Решение:

1. Приведем дроби в числителе к общему знаменателю: общий знаменатель для y и x будет xy. Домножим первую дробь на x, а вторую на y.

$$\frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x} = \frac{x^2 \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y^2 \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^3}{xy} - \frac{y^3}{xy}$$

Выполним вычитание:

$$\frac{x^3 - y^3}{xy}$$

2. Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю: общий знаменатель для x и y будет xy. Домножим первую дробь на y, а вторую на x.

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1 \cdot y}{x \cdot y} - \frac{1 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy}$$

Выполним вычитание:

$$\frac{y - x}{xy}$$

3. Разделим дробь в числителе на дробь в знаменателе:

$$\frac{\frac{x^3 - y^3}{xy}}{\frac{y - x}{xy}} = \frac{x^3 - y^3}{xy} \cdot \frac{xy}{y - x} = \frac{(x^3 - y^3) \cdot xy}{xy \cdot (y - x)}$$

Сократим xy:

$$\frac{x^3 - y^3}{y - x}$$

4. Разложим числитель по формуле разности кубов:

$$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$$

Подставим в выражение:

$$\frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{y - x}$$

5. Вынесем минус за скобку в знаменателе:

$$y - x = -(x - y)$$

Подставим в выражение:

$$\frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{-(x - y)}$$

6. Сократим (x - y):

$$\frac{x^2 + xy + y^2}{-1} = -(x^2 + xy + y^2)$$

Раскроем скобки:

$$-x^2 - xy - y^2$$

Ответ: $$-x^2 - xy - y^2$$