Упростите: \(\frac{5x + 9}{x^2 - 1} - \frac{4x + 8}{x^2 - 1}\)

Решение:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же:

\[ \frac{5x + 9}{x^2 - 1} - \frac{4x + 8}{x^2 - 1} = \frac{(5x + 9) - (4x + 8)}{x^2 - 1} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{5x + 9 - 4x - 8}{x^2 - 1} \]

Приведём подобные слагаемые в числителе:

\[ \frac{(5x - 4x) + (9 - 8)}{x^2 - 1} = \frac{x + 1}{x^2 - 1} \]

Знаменатель можно разложить на множители как разность квадратов: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на \( (x + 1) \), при условии, что \( x \neq -1 \):

\[ \frac{1}{x - 1} \]

Ответ: \(\frac{1}{x - 1}\).