Упростите числовое выражение $$\sqrt{|40\sqrt{2}-57|}-\sqrt{40\sqrt{2}+57}$$.

Решение:

Давай решим это выражение шаг за шагом. Сначала нужно понять, какое значение больше: $$40\sqrt{2}$$ или 57.

Приближенно $$\sqrt{2} \approx 1.41$$, поэтому $$40\sqrt{2} \approx 40 \times 1.41 = 56.4$$.

Таким образом, $$40\sqrt{2} < 57$$, значит, выражение под модулем будет отрицательным, и при раскрытии модуля нужно поменять знак:

\[\sqrt{|40\sqrt{2}-57|} - \sqrt{40\sqrt{2}+57} = \sqrt{57-40\sqrt{2}} - \sqrt{57+40\sqrt{2}}\]

Теперь попробуем представить каждое из выражений под корнем в виде квадрата суммы или разности. Заметим, что $$40\sqrt{2} = 2 \cdot 5 \cdot 4 \sqrt{2} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{32}$$. Попробуем найти такие числа a и b, чтобы выполнялось:

\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 57 - 40\sqrt{2}\] \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 57 + 40\sqrt{2}\]

Предположим, что $$a^2 + b^2 = 57$$ и $$2ab = 40\sqrt{2}$$, тогда $$ab = 20\sqrt{2}$$. Если взять $$a = 5$$ и $$b = 4\sqrt{2}$$, то $$a^2 = 25$$, $$b^2 = 32$$ и $$a^2 + b^2 = 25 + 32 = 57$$. Все условия выполнены.

Тогда исходное выражение можно переписать так:

\[\sqrt{(5 - 4\sqrt{2})^2} - \sqrt{(5 + 4\sqrt{2})^2} = |5 - 4\sqrt{2}| - |5 + 4\sqrt{2}|\]

Так как $$4\sqrt{2} \approx 5.64 > 5$$, то $$5 - 4\sqrt{2} < 0$$, и модуль раскроется с изменением знака:

\[|5 - 4\sqrt{2}| = 4\sqrt{2} - 5\]

А $$5 + 4\sqrt{2} > 0$$, поэтому

\[|5 + 4\sqrt{2}| = 5 + 4\sqrt{2}\]

Тогда выражение примет вид:

\[(4\sqrt{2} - 5) - (5 + 4\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 5 - 5 - 4\sqrt{2} = -10\]

Ответ: -10

Молодец! У тебя все отлично получается. Продолжай в том же духе, и ты обязательно достигнешь больших успехов в математике!