Упростить выражения: 1.47. 1-sin²α. 1.48. 1-cos²α. 1.49. sin²β-1. 1.50. cos²2α-1. 1.51. sin²φ+cos²φ+1. 1.52. 1-sin²3α-cos²3α. 1.53. sin²2α+cos²2α+ctg²5α. 1.54. 1-sin²α/1-cos²α 1.55. sinαcos2α/cosαsin2α 1.56. sin3αsinα/cos3αcosα 1.57. cosαtgα. 1.58. sinα/3ctgα/3 1.59. sinβctgβ+cosβ. 1.60. 1/cos²α-1 1.61. 1-1/sin²y 1.62. 1-sin²α+ctg²αsin²α. 1.63. tgα/ctgα. 1.64. sin(α+β)/tg(α+β) 1.65. cos(α-β)/ctg(α-β) 1.66. ctgx/tgx+ctgy/tgy 1.67. tgy/ctgφ+tgφctgp 1.68. cos²α+ctg²α-1/sin²α 1.69. sin²α-1/cos²α-1+tgαctgα 1.70. sin²β/1-sin²βctg²β 1.71. (tgαcosα)²+(ctgαsinα)² 1.72. tgαcosα/sin²α 1.73. sin²α/1+ctg²α(cos²α-1) 1.74. sin²α+2cos²α-1/ctg²α 1.75. 1-cos²α+tg²αcos²α/sin²α 1.76. 1+tg²α/1+ctg²α 1.77. cos²α+sin²α/1+ctg²α-1 1.78. sin²α/1+tg²α+cos²α/1+ctg²α

1.47. 1 - sin²α

Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Тогда cos²α = 1 - sin²α

Ответ: cos²α

Ты молодец! Знание основных формул - ключ к успеху!

---

1.48. 1 - cos²α

Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Тогда sin²α = 1 - cos²α

Ответ: sin²α

Продолжай в том же духе! У тебя все получится!

---

1.49. sin²β - 1

Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²β + cos²β = 1. Тогда sin²β - 1 = -cos²β

Ответ: -cos²β

Ты на правильном пути! Немного усилий, и ты достигнешь отличных результатов!

---

1.50. cos²2α - 1

Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²2α + cos²2α = 1. Тогда cos²2α - 1 = -sin²2α

Ответ: -sin²2α

Не останавливайся на достигнутом! Ты способен на большее!

---

1.51. sin²φ + cos²φ + 1

Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²φ + cos²φ = 1. Тогда sin²φ + cos²φ + 1 = 1 + 1 = 2.

Ответ: 2

Прекрасно! У тебя отлично получается применять знания на практике!

---

1.52. 1 - sin²3α - cos²3α

Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²3α + cos²3α = 1. Тогда 1 - (sin²3α + cos²3α) = 1 - 1 = 0.

Ответ: 0

Отличная работа! Твои знания и умения растут с каждым разом!

---

1.53. sin²2α + cos²2α + ctg²5α

Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²2α + cos²2α = 1. Тогда sin²2α + cos²2α + ctg²5α = 1 + ctg²5α.

Вспомним формулу: 1 + ctg²α = 1/sin²α. Тогда 1 + ctg²5α = 1/sin²5α

Ответ: 1/sin²5α

Замечательно! Твоё упорство и труд обязательно принесут свои плоды!

---

1.54. (1 - sin²α) / (1 - cos²α)

Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.

Тогда числитель: 1 - sin²α = cos²α.

Знаменатель: 1 - cos²α = sin²α.

Следовательно, (1 - sin²α) / (1 - cos²α) = cos²α / sin²α = ctg²α.

Ответ: ctg²α

Ты просто супер! Продолжай в том же духе, и все получится!

---

1.55. (sin α cos 2α) / (cos α sin 2α)

Преобразуем выражение, используя формулу синуса двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α.

Исходное выражение: (sin α cos 2α) / (cos α sin 2α) = (sin α cos 2α) / (cos α * 2 sin α cos α) = cos 2α / (2 cos²α).

Используем формулу косинуса двойного угла: cos 2α = 2 cos²α - 1.

Тогда: cos 2α / (2 cos²α) = (2 cos²α - 1) / (2 cos²α) = 1 - 1 / (2 cos²α).

Ответ: (2 cos²α - 1) / (2 cos²α) = 1 - 1 / (2 cos²α)

Отлично! Твои знания тригонометрии пригодятся тебе в будущем!

---

1.56. (sin 3α sin α) / (cos 3α cos α)

Преобразуем выражение, используя определение тангенса: tg α = sin α / cos α.

(sin 3α sin α) / (cos 3α cos α) = (sin 3α / cos 3α) * (sin α / cos α) = tg 3α * tg α.

Ответ: tg 3α * tg α

Молодец! Ты отлично справляешься с тригонометрическими выражениями!

---

1.57. cos α tg α

Преобразуем выражение, используя определение тангенса: tg α = sin α / cos α.

cos α tg α = cos α * (sin α / cos α) = sin α.

Ответ: sin α

Ты демонстрируешь отличные навыки решения задач!

---

1.58. (sin α) / 3 * ctg (α/3)

Преобразуем выражение, используя определение котангенса: ctg α = cos α / sin α.

(sin α) / 3 * ctg (α/3) = (sin α) / 3 * (cos (α/3) / sin (α/3)) = (sin α * cos (α/3)) / (3 * sin (α/3)).

Ответ: (sin α * cos (α/3)) / (3 * sin (α/3))

Продолжай в том же духе! Твои усилия не напрасны!

---

1.59. sin β ctg β + cos β

Преобразуем выражение, используя определение котангенса: ctg β = cos β / sin β.

sin β ctg β + cos β = sin β * (cos β / sin β) + cos β = cos β + cos β = 2 cos β.

Ответ: 2 cos β

Замечательно! Ты отлично усваиваешь материал!

---

1.60. 1 / cos²α - 1

Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.

Тогда sin²α = 1 - cos²α, а значит, -sin²α = cos²α - 1.

Следовательно, 1 / (cos²α - 1) = 1 / (-sin²α) = -1 / sin²α.

Используем определение косеканса: csc α = 1 / sin α.

Тогда -1 / sin²α = -csc²α.

Ответ: -csc²α

Ты просто молодец! Твои знания тригонометрии впечатляют!

---

1.61. 1 - 1 / sin²y

Преобразуем выражение: 1 - 1 / sin²y = (sin²y - 1) / sin²y.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin²y + cos²y = 1, тогда sin²y - 1 = -cos²y.

Следовательно, (sin²y - 1) / sin²y = -cos²y / sin²y = -ctg²y.

Ответ: -ctg²y

Отличная работа! Твои навыки решения задач на высоте!

---

1.62. 1 - sin²α + ctg²α sin²α

Преобразуем выражение, используя определение котангенса: ctg α = cos α / sin α.

1 - sin²α + ctg²α sin²α = 1 - sin²α + (cos²α / sin²α) * sin²α = 1 - sin²α + cos²α.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1, тогда 1 - sin²α + cos²α = cos²α + cos²α = 2cos²α.

Ответ: cos²α

---

1.63. tgα/ctgα

tgα/ctgα = tgα / (1/tgα) = tgα * tgα = tg²α

Ответ: tg²α

---

1.64. sin(α+β)/tg(α+β)

sin(α+β)/tg(α+β) = sin(α+β) / (sin(α+β)/cos(α+β)) = sin(α+β) * cos(α+β) / sin(α+β) = cos(α+β)

Ответ: cos(α+β)

---

1.65. cos(α-β)/ctg(α-β)

cos(α-β)/ctg(α-β) = cos(α-β) / (cos(α-β) / sin(α-β)) = cos(α-β) * sin(α-β) / cos(α-β) = sin(α-β)

Ответ: sin(α-β)

---

1.66. ctgx/tgx+ctgy/tgy

ctx/tgx + ctgy/tgy = 1/tgx / tgx + 1/tgy / tgy = 1/tg²x + 1/tg²y

Ответ: 1/tg²x + 1/tg²y

---

1.67. tgy/ctgφ+tgφctgp

tgy/ctgφ+tgφctgp = tgy/ctgφ + tgφ/ctgφ = (tgy + tgφ)/ctgφ

Ответ: (tgy + tgφ)/ctgφ

---

1.68. cos²α+ctg²α-1/sin²α

cos²α+ctg²α-1/sin²α = cos²α + ctg²α - csc²α = cos²α + cos²α/sin²α - 1/sin²α = cos²α + (cos²α - 1)/sin²α = cos²α + (-sin²α)/sin²α = cos²α - 1 = -sin²α

Ответ: -sin²α

---

1.69. sin²α-1/cos²α-1+tgαctgα

sin²α-1/cos²α-1+tgαctgα = -cos²α/-sin²α + tgαctgα = ctg²α + 1 = csc²α

Ответ: csc²α

---

1.70. sin²β/1-sin²βctg²β

sin²β/1-sin²βctg²β = sin²β/1-sin²β*cos²β/sin²β = sin²β/1-cos²β = sin²β/sin²β = 1

Ответ: 1

---

1.71. (tgαcosα)²+(ctgαsinα)²

(tgαcosα)²+(ctgαsinα)² = (sinα/cosα * cosα)² + (cosα/sinα * sinα)² = (sinα)² + (cosα)² = 1

Ответ: 1

---

1.72. tgαcosα/sin²α

tgαcosα/sin²α = sinα/cosα * cosα / sin²α = sinα / sin²α = 1/sinα = cscα

Ответ: cscα

---

1.73. sin²α/1+ctg²α(cos²α-1)

sin²α/1+ctg²α(cos²α-1) = sin²α/1+cos²α/sin²α(cos²α-1) = sin²α/1+cos²α/sin²α*(-sin²α) = sin²α/1-cos²α = sin²α/sin²α = 1

Ответ: 1

---

1.74. sin²α+2cos²α-1/ctg²α

sin²α+2cos²α-1/ctg²α = (sin²α + cos²α) + cos²α -1 / ctg²α = 1 + cos²α - 1 / ctg²α = cos²α/ctg²α = cos²α / cos²α/sin²α = sin²α

Ответ: sin²α

---

1.75. 1-cos²α+tg²αcos²α/sin²α

1-cos²α+tg²αcos²α/sin²α = sin²α + sin²α/cos²α * cos²α / sin²α = sin²α + 1 = 1 + sin²α

Ответ: 1 + sin²α

---

1.76. 1+tg²α/1+ctg²α

1+tg²α/1+ctg²α = sec²α/csc²α = (1/cos²α) / (1/sin²α) = sin²α/cos²α = tg²α

Ответ: tg²α

---

1.77. cos²α+sin²α/1+ctg²α-1

cos²α+sin²α/1+ctg²α-1 = cos²α + sin²α / csc²α - 1 = cos²α + sin²α / 1/sin²α - 1 = cos²α + sin²α * sin²α - 1 = cos²α + sin⁴α - 1 = sin⁴α + cos²α - 1

Ответ: sin⁴α + cos²α - 1

---

1.78. sin²α/1+tg²α+cos²α/1+ctg²α

sin²α/1+tg²α+cos²α/1+ctg²α = sin²α/sec²α + cos²α/csc²α = sin²α*cos²α + cos²α*sin²α = 2sin²αcos²α

Ответ: 2sin²αcos²α