Упростить выражения: а) (b − c)/b + b/(b + c); б) (x + 1)/(x − 2) − (x + 3)/x; в) m/(m − n) − n/(m + n); г) 2a/(2a − 1) − 1/(2a + 1); д) a/(a + 2) − a/(a − 2); е) p/(3p − 1) − p/(1 + 3p).

Приведём дроби к общему знаменателю и выполним действия.

1. \(\displaystyle \frac{b-c}{b}+\frac{b}{b+c}=\frac{(b-c)(b+c)+b^2}{b(b+c)}=\frac{b^2-c^2+b^2}{b(b+c)}=\frac{2b^2-c^2}{b(b+c)}\).

   ОДЗ: \(b\ne0\), \(b\ne-c\).

2. \(\displaystyle \frac{x+1}{x-2}-\frac{x+3}{x}=\frac{x(x+1)-(x+3)(x-2)}{x(x-2)}\).

   \(\displaystyle =\frac{x^2+x-(x^2+x-6)}{x(x-2)}=\frac{6}{x(x-2)}\).

   ОДЗ: \(x\ne0\), \(x\ne2\).

3. \(\displaystyle \frac{m}{m-n}-\frac{n}{m+n}=\frac{m(m+n)-n(m-n)}{(m-n)(m+n)}\).

   \(\displaystyle =\frac{m^2+mn-mn+n^2}{m^2-n^2}=\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}\).

   ОДЗ: \(m\ne n\), \(m\ne-n\).

4. \(\displaystyle \frac{2a}{2a-1}-\frac{1}{2a+1}=\frac{2a(2a+1)-(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)}\).

   \(\displaystyle =\frac{4a^2+2a-2a+1}{4a^2-1}=\frac{4a^2+1}{4a^2-1}\).

   ОДЗ: \(a\ne\frac12\), \(a\ne-\frac12\).

5. \(\displaystyle \frac{a}{a+2}-\frac{a}{a-2}=\frac{a(a-2)-a(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{a^2-2a-a^2-2a}{a^2-4}=\frac{-4a}{a^2-4}\).

   ОДЗ: \(a\ne2\), \(a\ne-2\).

6. Так как \(1+3p=3p+1\), то

   \(\displaystyle \frac{p}{3p-1}-\frac{p}{1+3p}=\frac{p(3p+1)-p(3p-1)}{(3p-1)(3p+1)}=\frac{6p}{9p^2-1}\).

   ОДЗ: \(p\ne\frac13\), \(p\ne-\frac13\).

Ответ: а) \(\displaystyle \frac{2b^2-c^2}{b(b+c)}\); б) \(\displaystyle \frac{6}{x(x-2)}\); в) \(\displaystyle \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}\); г) \(\displaystyle \frac{4a^2+1}{4a^2-1}\); д) \(\displaystyle -\frac{4a}{a^2-4}\); е) \(\displaystyle \frac{6p}{9p^2-1}\).