Упростить выражения 1–8 на изображении.

Используем разложение на множители и правило деления дробей: деление заменяем умножением на обратную дробь.

1. \(\left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right):\frac{4m}{10m-5}\)

   \(\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{10m-5}{4m}=\frac{8m(10m-5)}{4m(4m^2-1)}=\frac{10m-5}{2m^2-\frac12}\).

   Удобнее в факторизованном виде: \(\frac{4m(2m-1)}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m}=\frac{5(2m-1)}{2m+1}\).

   Ответ: \(\frac{5(2m-1)}{2m+1}\).

2. \(\left(\frac{z+6}{3z+9}-\frac1{z+3}\right):\frac{z+2}{10m-5}\)

   Так как \(3z+9=3(z+3)\), то \(\frac{z+6}{3(z+3)}-\frac1{z+3}=\frac{z+3}{3(z+3)}=\frac13\).

   \(\frac13\cdot\frac{10m-5}{z+2}=\frac{5(2m-1)}{3(z+2)}\).

   Ответ: \(\frac{5(2m-1)}{3(z+2)}\).

3. \(\frac{y-1}{y}:\frac{y^2-1}{y^2+2y}\cdot\frac2{y+2}\)

   \(\frac{y-1}{y}\cdot\frac{y(y+2)}{(y-1)(y+1)}\cdot\frac2{y+2}=\frac2{y+1}\).

   Ответ: \(\frac2{y+1}\).

4. \(\frac{m-2}{m-5}:\left(\frac{m^2+24}{m^2-25}-\frac4{m-5}\right)\)

   \(\frac{m^2+24}{(m-5)(m+5)}-\frac{4(m+5)}{(m-5)(m+5)}=\frac{m^2-4m+4}{(m-5)(m+5)}=\frac{(m-2)^2}{(m-5)(m+5)}\).

   \(\frac{m-2}{m-5}\cdot\frac{(m-5)(m+5)}{(m-2)^2}=\frac{m+5}{m-2}\).

   Ответ: \(\frac{m+5}{m-2}\).

5. \(\frac{a^2+ab}{a^2+b^2}\left(\frac a{a-b}-\frac b{a+b}\right)\)

   \(\frac a{a-b}-\frac b{a+b}=\frac{a(a+b)-b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\).

   \(\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}\cdot\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac a{a-b}\).

   Ответ: \(\frac a{a-b}\).

6. \(\frac{ab-b^2}{a^2+b^2}\left(\frac a{a+b}+\frac b{a-b}\right)\)

   \(\frac{ab-b^2}{a^2+b^2}=\frac{b(a-b)}{a^2+b^2}\).

   \(\frac a{a+b}+\frac b{a-b}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a^2-b^2}=\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}\).

   \(\frac{b(a-b)}{a^2+b^2}\cdot\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac b{a+b}\).

   Ответ: \(\frac b{a+b}\).

7. \(\frac{c+d}{c}\cdot\frac{d-c}{c^2+d^2}\)

   \(\frac{(c+d)(d-c)}{c(c^2+d^2)}=\frac{d^2-c^2}{c(c^2+d^2)}\).

   Ответ: \(\frac{d^2-c^2}{c(c^2+d^2)}\).

8. \(\left(\frac{2c}{c+d}+\frac{d-c}{c+d}\right)\frac{c+d}{c^2+d^2}\)

   \(\left(\frac{2c+d-c}{c+d}\right)\frac{c+d}{c^2+d^2}=\frac{c}{c+d}\cdot\frac{c+d}{c^2+d^2}=\frac c{c^2+d^2}\).

   Ответ: \(\frac c{c^2+d^2}\).