3. Упростить выражение: (v² + 6y)² – y²(6 + 5y)(6 – 5y) - y²(12y - y²). 4. Разложить на множители: a) (a – b)² – a²; 6) x3 + y³ + 2xy(x + y). 5. Доказать, что если из квадрата нечетноГО ОВЕНЬ числа вычесть 1, то результат будет делиться на 8. 6*. При любом натуральном n найдите остаток от деления выражения (п + 1)(n + 5) - (n-2)(n+2) на 6. 7*. Решите уравнение: (2x-1)(4x²+2x+1)- 8x(x² + 1) = 3x + 4.

3. Упростить выражение:

(y² + 6y)² – y²(6 + 5y)(6 – 5y) - y²(12y - y²)

• Шаг 1: Раскроем скобки в первом слагаемом:

(y² + 6y)² = y⁴ + 12y³ + 36y²

• Шаг 2: Раскроем скобки во втором слагаемом:

y²(6 + 5y)(6 – 5y) = y²(36 - 25y²) = 36y² - 25y⁴

• Шаг 3: Раскроем скобки в третьем слагаемом:

y²(12y - y²) = 12y³ - y⁴

• Шаг 4: Подставим полученные выражения в исходное:

y⁴ + 12y³ + 36y² - (36y² - 25y⁴) - (12y³ - y⁴) = y⁴ + 12y³ + 36y² - 36y² + 25y⁴ - 12y³ + y⁴

• Шаг 5: Приведем подобные слагаемые:

y⁴ + 25y⁴ + y⁴ + 12y³ - 12y³ + 36y² - 36y² = 27y⁴

Ответ: 27y⁴

4. Разложить на множители:

a) (a – b)² – a²

• Шаг 1: Раскроем скобки:

(a – b)² – a² = a² - 2ab + b² - a²

• Шаг 2: Приведем подобные слагаемые:

a² - a² - 2ab + b² = -2ab + b²

• Шаг 3: Вынесем общий множитель за скобки:

-2ab + b² = b(b - 2a)

Ответ: b(b - 2a)

б) x³ + y³ + 2xy(x + y)

• Шаг 1: Разложим сумму кубов:

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

• Шаг 2: Вынесем общий множитель (x + y) за скобки:

(x + y)(x² - xy + y²) + 2xy(x + y) = (x + y)(x² - xy + y² + 2xy)

• Шаг 3: Упростим выражение в скобках:

(x + y)(x² - xy + y² + 2xy) = (x + y)(x² + xy + y²)

Ответ: (x + y)(x² + xy + y²)

5. Доказать, что если из квадрата нечетного числа вычесть 1, то результат будет делиться на 8.

• Шаг 1: Представим нечетное число в виде 2k + 1, где k – целое число.
• Шаг 2: Возведем нечетное число в квадрат и вычтем 1:

(2k + 1)² - 1 = (4k² + 4k + 1) - 1 = 4k² + 4k = 4k(k + 1)

• Шаг 3: Проанализируем полученное выражение:

Произведение k(k + 1) – это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из них обязательно четное, то есть делится на 2. Значит, k(k + 1) делится на 2, и можно записать k(k + 1) = 2m, где m – целое число.

• Шаг 4: Подставим полученное выражение в исходное:

4k(k + 1) = 4 * 2m = 8m

• Шаг 5: Сделаем вывод:

Так как 8m делится на 8, то и (2k + 1)² - 1 делится на 8.

Доказано.

6*. При любом натуральном n найдите остаток от деления выражения (n + 1)(n + 5) - (n-2)(n+2) на 6.

• Шаг 1: Упростим выражение:

(n + 1)(n + 5) - (n - 2)(n + 2) = n² + 5n + n + 5 - (n² - 4) = n² + 6n + 5 - n² + 4 = 6n + 9

• Шаг 2: Разделим полученное выражение на 6:

6n + 9 = 6n + 6 + 3 = 6(n + 1) + 3

• Шаг 3: Сделаем вывод об остатке:

Так как 6(n + 1) делится на 6, то остаток от деления выражения на 6 равен 3.

Ответ: 3

7*. Решите уравнение:

(2x-1)(4x²+2x+1)- 8x(x² + 1) = 3x + 4

• Шаг 1: Раскроем скобки:

(2x - 1)(4x² + 2x + 1) - 8x(x² + 1) = 8x³ + 4x² + 2x - 4x² - 2x - 1 - 8x³ - 8x = 3x + 4

• Шаг 2: Приведем подобные слагаемые:

8x³ - 8x³ + 4x² - 4x² + 2x - 2x - 8x - 1 = 3x + 4

-8x - 1 = 3x + 4

• Шаг 3: Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числа в другую:

-8x - 3x = 4 + 1

-11x = 5

• Шаг 4: Найдем x:

x = -5/11

Ответ: -5/11