Упростить выражение: $$\frac{b^{-\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{7}{18}}} \cdot \frac{b^{\frac{2}{7}}}{b^{-\frac{5}{7}}}$$

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Сначала упростим первую дробь: \( \frac{b^{-\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{7}{18}}} \)

В числителе складываем степени: \( -\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = -\frac{5}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} \).

Теперь делим: \( \frac{b^{-\frac{1}{2}}}{b^{\frac{7}{18}}} = b^{-\frac{1}{2} - \frac{7}{18}} \).

Приводим к общему знаменателю: \( -\frac{1}{2} - \frac{7}{18} = -\frac{9}{18} - \frac{7}{18} = -\frac{16}{18} = -\frac{8}{9} \). Итак, первая дробь равна \( b^{-\frac{8}{9}} \).

2. Теперь упростим вторую дробь: \( \frac{b^{\frac{2}{7}}}{b^{-\frac{5}{7}}} \)

Делим степени: \( b^{\frac{2}{7} - (-\frac{5}{7})} = b^{\frac{2}{7} + \frac{5}{7}} = b^{\frac{7}{7}} = b^1 = b \).

3. Теперь перемножим упрощённые дроби: \( b^{-\frac{8}{9}} \cdot b^1 \)

Складываем степени: \( b^{-\frac{8}{9} + 1} = b^{-\frac{8}{9} + \frac{9}{9}} = b^{\frac{1}{9}} \).

Ответ: $$b^{\frac{1}{9}}$$