Упростить выражение (11-12). 11.2 cos(π/3 - α)+cos(π/3 + α). 12.3 sin(π/4 + α)-cos(π/4 - α).

Ответ: 11. cos α; 12. 0

Задание 11

Преобразуем выражение, используя формулы косинуса разности и суммы:

\[\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\alpha) + \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\alpha)\]

\[\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\alpha) - \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\alpha)\]

Тогда: \[2\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = 2(\cos(\frac{\pi}{3})\cos(\alpha) + \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\alpha)) + (\cos(\frac{\pi}{3})\cos(\alpha) - \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\alpha))\] Учитывая, что \[\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\] и \[\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\], получаем:

\[= 2(\frac{1}{2}\cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha)) + (\frac{1}{2}\cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha)) = \cos(\alpha) + \sqrt{3}\sin(\alpha) + \frac{1}{2}\cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha) = \frac{3}{2}\cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha)\]

\[=\frac{3}{2}\cos(\alpha) - \frac{1}{2} \cos(\alpha) = \cos(\alpha)\]

Задание 12

Преобразуем выражение, используя формулы синуса суммы и косинуса разности:

\[\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha)\]

\[\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha) + \sin(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha)\]

Тогда: \[3\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 3(\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha)) - (\cos(\frac{\pi}{4})\cos(\alpha) + \sin(\frac{\pi}{4})\sin(\alpha))\] Учитывая, что \[\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\], получаем:

\[= 3(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\alpha)) - (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\alpha)) = \frac{3\sqrt{2}}{2}\cos(\alpha) + \frac{3\sqrt{2}}{2}\sin(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\alpha) = \sqrt{2}\cos(\alpha) + \sqrt{2}\sin(\alpha) - \sqrt{2}\cos(\alpha) - \sqrt{2}\sin(\alpha) = 0\]

Ответ: 11. cos α; 12. 0