1. Упростить выражение: \[\frac{x + 40}{x^3 - 16x} : \left( \frac{x - 4}{3x^2 + 11x - 4} - \frac{16}{16 - x^2} \right)\] и найти его значение при х =- 2. 2) Бригада должна была изготовить определенное ко- личество стульев за 10 дней. Однако она ежедневно из- готавливала на 20 стульев больше, чем планировалось первоначально, поэтому за 3 дня до срока ей осталось изготовить 58 стульев. Сколько стульев должна была изготовить бригада? 3. Решить неравенство: \[\frac{(x+3)^2(x^2-5x+6)}{(x-7)} \ge 0.\] 4. Решите уравнение. \[(\frac{x^2-3x}{2} + 3)(\frac{x^2-3x}{2} - 4) + 10 = 0;\] 5. Постройте график функции: \[y = \frac{(x^2-4) (x^2-4x)}{x(x-2)}\] При каких к прямая у = kx имеет с графиком функции ровно одну общую точку. 6. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18 см, а её площадь равна 156. Найти периметр трапеции. 7. В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна 17 см. Один из катетов равен 16 см. Найти площадь треугольника и длину высоты, проведённой к гипотенузе.

1. Упростить выражение:

Давай упростим выражение по шагам:

Исходное выражение: \[\frac{x + 40}{x^3 - 16x} : \left( \frac{x - 4}{3x^2 + 11x - 4} - \frac{16}{16 - x^2} \right)\]

Сначала разложим знаменатели на множители: \[x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x - 4)(x + 4)\] \[3x^2 + 11x - 4 = (3x - 1)(x + 4)\] \[16 - x^2 = (4 - x)(4 + x) = -(x - 4)(x + 4)\]

Тогда выражение примет вид: \[\frac{x + 40}{x(x - 4)(x + 4)} : \left( \frac{x - 4}{(3x - 1)(x + 4)} + \frac{16}{(x - 4)(x + 4)} \right)\]

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: \[\frac{x - 4}{(3x - 1)(x + 4)} + \frac{16}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{(x - 4)(x - 4) + 16(3x - 1)}{(3x - 1)(x - 4)(x + 4)} = \frac{x^2 - 8x + 16 + 48x - 16}{(3x - 1)(x - 4)(x + 4)} = \frac{x^2 + 40x}{(3x - 1)(x - 4)(x + 4)} = \frac{x(x + 40)}{(3x - 1)(x - 4)(x + 4)}\]

Теперь разделим первую дробь на результат в скобках: \[\frac{x + 40}{x(x - 4)(x + 4)} : \frac{x(x + 40)}{(3x - 1)(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 40}{x(x - 4)(x + 4)} \cdot \frac{(3x - 1)(x - 4)(x + 4)}{x(x + 40)} = \frac{3x - 1}{x^2}\]

Теперь найдем значение выражения при x = -2: \[\frac{3(-2) - 1}{(-2)^2} = \frac{-6 - 1}{4} = \frac{-7}{4} = -1.75\]

Ответ: \(\frac{3x - 1}{x^2}\), при x = -2 значение равно -1.75

Ты молодец! У тебя всё получится!

2. Задача про бригаду:

Пусть x - количество стульев, которое бригада должна была изготавливать ежедневно первоначально.

Тогда (x + 20) - количество стульев, которое бригада изготавливала ежедневно по факту.

По плану бригада должна была изготовить x * 10 стульев.

По факту за 7 дней бригада изготовила 7 * (x + 20) стульев, и осталось изготовить 58 стульев.

Составим уравнение: \[7(x + 20) + 58 = 10x\]\[7x + 140 + 58 = 10x\]\[198 = 3x\]\[x = 66\]

Бригада должна была изготовить 66 * 10 = 660 стульев.

Ответ: 660

Ты молодец! У тебя всё получится!

3. Решить неравенство:

\[\frac{(x+3)^2(x^2-5x+6)}{(x-7)} \ge 0\]

Сначала разложим квадратный трехчлен на множители: \[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\]

Неравенство принимает вид: \[\frac{(x+3)^2(x - 2)(x - 3)}{(x-7)} \ge 0\]

Найдем нули числителя: x = -3, x = 2, x = 3. Нули знаменателя: x = 7.

Метод интервалов:

       +       -       +       -       +
----(-3)----(2)----(3)----(7)---->

Учитывая, что неравенство нестрогое, включаем нули числителя, кроме x = -3, так как там (x+3)^2=0. Ответ: \[x \in [2, 3] \cup (7, +\infty) \cup \{-3\}\]

Ответ: \[x \in \{-3\} \cup [2, 3] \cup (7, +\infty)\]

Ты молодец! У тебя всё получится!

4. Решите уравнение:

\[(\frac{x^2-3x}{2} + 3)(\frac{x^2-3x}{2} - 4) + 10 = 0;\]

Пусть \(t = \frac{x^2 - 3x}{2}\). Тогда уравнение примет вид: \[(t + 3)(t - 4) + 10 = 0\]\[t^2 - 4t + 3t - 12 + 10 = 0\]\[t^2 - t - 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно t: \[D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\]\[t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\]\[t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1\]

Вернемся к x: \[\frac{x^2 - 3x}{2} = 2\]\[x^2 - 3x = 4\]\[x^2 - 3x - 4 = 0\]\[D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\]\[x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\]\[x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1\] \[\frac{x^2 - 3x}{2} = -1\]\[x^2 - 3x = -2\]\[x^2 - 3x + 2 = 0\]\[D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\]\[x_3 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2\]\[x_4 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1\]

Ответ: x = -1, 1, 2, 4

Ты молодец! У тебя всё получится!

5. Постройте график функции:

\[y = \frac{(x^2-4) (x^2-4x)}{x(x-2)}\]

Упростим выражение: \[y = \frac{(x - 2)(x + 2)x(x - 4)}{x(x - 2)}\]

Сократим x и (x - 2), при условии x ≠ 0 и x ≠ 2: \[y = (x + 2)(x - 4) = x^2 - 2x - 8\]

График - парабола с вершиной в точке: \[x_v = \frac{-(-2)}{2(1)} = 1\]\[y_v = 1^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9\]

y = kx - прямая, проходящая через начало координат. Прямая y = kx имеет с графиком функции ровно одну общую точку, если она касается параболы или проходит через выколотые точки.

1) Прямая касается параболы: \[x^2 - 2x - 8 = kx\]\[x^2 - (2 + k)x - 8 = 0\]\[D = (2 + k)^2 - 4(1)(-8) = 0\]\[4 + 4k + k^2 + 32 = 0\]\[k^2 + 4k + 36 = 0\]\[D = 4^2 - 4(1)(36) = 16 - 144 = -128 < 0\]

Нет касательных.

2) Прямая проходит через выколотые точки: x = 0: y = (0 + 2)(0 - 4) = -8. Но x ≠ 0, так как знаменатель. x = 2: y = (2 + 2)(2 - 4) = 4(-2) = -8. y = kx => -8 = k*2 => k = -4

Ответ: k = -4

Ты молодец! У тебя всё получится!

6. Основания равнобедренной трапеции:

Основания: a = 8 см, b = 18 см. Площадь: S = 156 см².

Площадь трапеции: S = ((a + b) / 2) * h, где h - высота. \[156 = \frac{8 + 18}{2} \cdot h\]\[156 = \frac{26}{2} \cdot h\]\[156 = 13h\]\[h = \frac{156}{13} = 12\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Длина этой части равна (b - a) / 2 = (18 - 8) / 2 = 10 / 2 = 5 см.

По теореме Пифагора найдем боковую сторону c: \[c^2 = h^2 + (\frac{b - a}{2})^2\]\[c^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\]\[c = \sqrt{169} = 13\]

Периметр трапеции: P = a + b + 2c = 8 + 18 + 2 * 13 = 8 + 18 + 26 = 52 см.

Ответ: 52 см

Ты молодец! У тебя всё получится!

7. Прямоугольный треугольник:

Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна 17 см. Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза c = 2 * 17 = 34 см.

Один из катетов равен 16 см. Пусть a = 16 см.

По теореме Пифагора найдем второй катет b: \[a^2 + b^2 = c^2\]\[16^2 + b^2 = 34^2\]\[256 + b^2 = 1156\]\[b^2 = 1156 - 256 = 900\]\[b = \sqrt{900} = 30\]

Площадь треугольника: S = (1/2) * a * b = (1/2) * 16 * 30 = 8 * 30 = 240 см².

Длина высоты, проведенной к гипотенузе, находится по формуле: h = (a * b) / c = (16 * 30) / 34 = 480 / 34 = 240 / 17 ≈ 14.12 см.

Ответ: Площадь 240 см², высота 240/17 см

Ты молодец! У тебя всё получится!