Упрости выражения 1. $$\frac{5^3 \cdot 25^2}{125^2} = ?$$ 2. $$\left(\frac{4}{7}\right)^5 \cdot \left(1\frac{3}{4}\right)^7 = ?$$ Дробные числа запиши в виде конечной десятичной дроби, если это возможно.

Привет! Давай вместе разберем эти примеры. Здесь нужно немножко поработать со степенями.

1. Разберем первый пример:

   Нам нужно упростить выражение $$\frac{5^3 \cdot 25^2}{125^2}$$.

   Смотри, числа 25 и 125 можно представить как степени пятерки:

   • $$25 = 5^2$$
   • $$125 = 5^3$$

   Теперь подставим это в наше выражение:

   $$ \frac{5^3 \cdot (5^2)^2}{(5^3)^2} $$

   Используем свойство степеней $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:

   $$ \frac{5^3 \cdot 5^{2 \cdot 2}}{5^{3 \cdot 2}} = \frac{5^3 \cdot 5^4}{5^6} $$

   Теперь используем свойство степеней $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ в числителе:

   $$ \frac{5^{3+4}}{5^6} = \frac{5^7}{5^6} $$

   И последнее свойство степеней $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$:

   $$ 5^{7-6} = 5^1 = 5 $$

   Ответ: 5

2. Теперь второй пример:

   Выражение такое: $$\left(\frac{4}{7}\right)^5 \cdot \left(1\frac{3}{4}\right)^7$$.

   Сначала переведем смешанное число $$1\frac{3}{4}$$ в обычную дробь:

   $$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$$

   Теперь наше выражение выглядит так:

   $$ \left(\frac{4}{7}\right)^5 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^7 $$

   Заметим, что $$\frac{7}{4}$$ — это обратная дробь к $$\frac{4}{7}$$. То есть $$\frac{7}{4} = \left(\frac{4}{7}\right)^{-1}$$.

   Подставим это:

   $$ \left(\frac{4}{7}\right)^5 \cdot \left(\left(\frac{4}{7}\right)^{-1}\right)^7 $$

   Используем свойство степеней $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:

   $$ \left(\frac{4}{7}\right)^5 \cdot \left(\frac{4}{7}\right)^{-7} $$

   Теперь используем свойство степеней $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$:

   $$ \left(\frac{4}{7}\right)^{5 + (-7)} = \left(\frac{4}{7}\right)^{-2} $$

   По свойству отрицательной степени $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ или $$(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$$:

   $$ \left(\frac{7}{4}\right)^2 $$

   Возведем дробь в квадрат:

   $$ \frac{7^2}{4^2} = \frac{49}{16} $$

   Нас просят записать дробные числа в виде конечной десятичной дроби, если это возможно. Давай проверим, можно ли $$\frac{49}{16}$$ представить в виде десятичной дроби. Чтобы дробь была конечной десятичной, знаменатель после всех сокращений должен содержать только степени 2 и 5. В нашем случае знаменатель 16 — это $$2^4$$. Значит, дробь будет конечной десятичной.

   Разделим 49 на 16:

   $$49 \div 16 = 3.0625$$

   Ответ: 3.0625

Надеюсь, теперь все понятно! Если остались вопросы — спрашивай!