Упражнения: 1. Пусть ть а = 3, 6=4, (0,5)=120°. 120°. Вычислить: a) (3-26) (a+26); б) (+6) . ( формула сокращенного умножения) a*b=acos 2. Даны векторы а = (4,-2,-4) и b = (6,-3, 2). Вычислить a) ab; 6) (24-36). (a+26); B) (- 3. Найти векторное произведение векторов а = (2,3,5) 4. Даны векторы: a) a = (1,0,1) u b = (0,1, 1); (2-6)x(2a+6). Найти координаты вектора 20 น b = (1, 2, 1) 5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а = (6,3,-2) 6. Вычислить площадь ДАВС, если А(2;2;2), B(4;0;3), C(0;1;0). 1. Найти координаты векторов АВ и АС 2. Векторное произведение 3. Сосчитать длину вектора. (1 лекция) 7. Показать, что векторы a=(7,-3,2), (3, 7, 8), c = (1,-1,1) компланарны. น b = (3,-2, 6). 8. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(0;0;1), B(2;3;5), C(6;2;3) и D(3;7;2). V=1/6 (AB,AС, АД) 9. Показать, что точки А(5;7;-2), B(3;1;-1), C(9;4;-4) и D(1;5;0) лежат в одной плоскости.

1. a) Вычисление (3a - 2b) · (a + 2b):

Дано: |a| = 3, |b| = 4, ∠(a, b) = 120°.

Сначала раскроем скобки:

\[ (3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = 3\vec{a}^2 + 6\vec{a}\vec{b} - 2\vec{a}\vec{b} - 4\vec{b}^2 \]

\[ = 3|\vec{a}|^2 + 4\vec{a}\vec{b} - 4|\vec{b}|^2 \]

Теперь вычислим значения:

\[ |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9 \]

\[ |\vec{b}|^2 = 4^2 = 16 \]

\[ \vec{a}\vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(120^\circ) = 3 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -6 \]

Подставим значения:

\[ 3 \cdot 9 + 4 \cdot (-6) - 4 \cdot 16 = 27 - 24 - 64 = -61 \]

б) Вычисление (a + b)²:

\[ (\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\vec{b} + |\vec{b}|^2 \]

\[ = 9 + 2 \cdot (-6) + 16 = 9 - 12 + 16 = 13 \]

2. Даны векторы a = (4, -2, -4) и b = (6, -3, 2).

a) Вычислить a · b:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (4 \cdot 6) + (-2 \cdot -3) + (-4 \cdot 2) = 24 + 6 - 8 = 22 \]

б) Вычислить (2a - 3b) · (a + 2b):

Сначала найдем координаты векторов 2a и 3b:

\[ 2\vec{a} = (8, -4, -8) \]

\[ 3\vec{b} = (18, -9, 6) \]

Теперь найдем координаты вектора 2a - 3b:

\[ 2\vec{a} - 3\vec{b} = (8 - 18, -4 - (-9), -8 - 6) = (-10, 5, -14) \]

Теперь найдем координаты вектора a + 2b:

\[ 2\vec{b} = (12, -6, 4) \]

\[ \vec{a} + 2\vec{b} = (4 + 12, -2 - 6, -4 + 4) = (16, -8, 0) \]

Теперь вычислим скалярное произведение:

\[ (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (-10 \cdot 16) + (5 \cdot -8) + (-14 \cdot 0) = -160 - 40 + 0 = -200 \]

в) Вычислить (a - b)²:

Сначала найдем координаты вектора a - b:

\[ \vec{a} - \vec{b} = (4 - 6, -2 - (-3), -4 - 2) = (-2, 1, -6) \]

Теперь вычислим квадрат длины вектора:

\[ (\vec{a} - \vec{b})^2 = (-2)^2 + 1^2 + (-6)^2 = 4 + 1 + 36 = 41 \]

3. Найти векторное произведение векторов a = (2, 3, 5) и b = (1, 2, 1).

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 \cdot 1 - 5 \cdot 2) - \hat{j}(2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) + \hat{k}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) \]

\[ = \hat{i}(3 - 10) - \hat{j}(2 - 5) + \hat{k}(4 - 3) = -7\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k} \]

Координаты векторного произведения: (-7, 3, 1).

4. Даны векторы: a = (1, 0, 1) и b = (0, 1, 1);

Найти координаты вектора (2a - b) × (2a + b).

Сначала найдем координаты векторов 2a:

\[ 2\vec{a} = (2, 0, 2) \]

Теперь найдем координаты вектора 2a - b:

\[ 2\vec{a} - \vec{b} = (2 - 0, 0 - 1, 2 - 1) = (2, -1, 1) \]

Теперь найдем координаты вектора 2a + b:

\[ 2\vec{a} + \vec{b} = (2 + 0, 0 + 1, 2 + 1) = (2, 1, 3) \]

Теперь вычислим векторное произведение:

\[ (2\vec{a} - \vec{b}) \times (2\vec{a} + \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) - \hat{j}(2 \cdot 3 - 1 \cdot 2) + \hat{k}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) \]

\[ = \hat{i}(-3 - 1) - \hat{j}(6 - 2) + \hat{k}(2 + 2) = -4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k} \]

Координаты вектора: (-4, -4, 4).

5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = (6, 3, -2) и b = (3, -2, 6).

Найдем векторное произведение векторов a и b:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 3 & -2 \\ 3 & -2 & 6 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 \cdot 6 - (-2) \cdot (-2)) - \hat{j}(6 \cdot 6 - (-2) \cdot 3) + \hat{k}(6 \cdot (-2) - 3 \cdot 3) \]

\[ = \hat{i}(18 - 4) - \hat{j}(36 + 6) + \hat{k}(-12 - 9) = 14\hat{i} - 42\hat{j} - 21\hat{k} \]

Координаты векторного произведения: (14, -42, -21).

Вычислим длину векторного произведения:

\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{14^2 + (-42)^2 + (-21)^2} = \sqrt{196 + 1764 + 441} = \sqrt{2401} = 49 \]

Площадь параллелограмма равна длине векторного произведения: 49.

6. Вычислить площадь ΔABC, если A(2;2;2), B(4;0;3), C(0;1;0).

1. Найти координаты векторов AB и AC:

\[ \vec{AB} = (4 - 2, 0 - 2, 3 - 2) = (2, -2, 1) \]

\[ \vec{AC} = (0 - 2, 1 - 2, 0 - 2) = (-2, -1, -2) \]

2. Векторное произведение:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}((-2) \cdot (-2) - 1 \cdot (-1)) - \hat{j}(2 \cdot (-2) - 1 \cdot (-2)) + \hat{k}(2 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2)) \]

\[ = \hat{i}(4 + 1) - \hat{j}(-4 + 2) + \hat{k}(-2 - 4) = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k} \]

Координаты векторного произведения: (5, 2, -6).

3. Сосчитать длину вектора:

\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 4 + 36} = \sqrt{65} \]

Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{65} \]

\[ S = \frac{\sqrt{65}}{2} \]

7. Показать, что векторы a = (7, -3, 2), b = (3, -7, 8), c = (1, -1, 1) компланарны.

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат векторов:

\[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} 7 & -3 & 2 \\ 3 & -7 & 8 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = 7 \cdot \begin{vmatrix} -7 & 8 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -7 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \]

\[ = 7 \cdot ((-7) \cdot 1 - 8 \cdot (-1)) + 3 \cdot (3 \cdot 1 - 8 \cdot 1) + 2 \cdot (3 \cdot (-1) - (-7) \cdot 1) \]

\[ = 7 \cdot (-7 + 8) + 3 \cdot (3 - 8) + 2 \cdot (-3 + 7) \]

\[ = 7 \cdot 1 + 3 \cdot (-5) + 2 \cdot 4 = 7 - 15 + 8 = 0 \]

Так как смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны.

8. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(0;0;1), B(2;3;5), C(6;2;3) и D(3;7;2). V=1/6 (AB,AC, АД)

Сначала найдем векторы AB, AC и AD:

\[ \vec{AB} = (2 - 0, 3 - 0, 5 - 1) = (2, 3, 4) \]

\[ \vec{AC} = (6 - 0, 2 - 0, 3 - 1) = (6, 2, 2) \]

\[ \vec{AD} = (3 - 0, 7 - 0, 2 - 1) = (3, 7, 1) \]

Объем пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов AB, AC и AD:

\[ V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}))| = \frac{1}{6} |\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 6 & 2 & 2 \\ 3 & 7 & 1 \end{vmatrix}| \]

\[ = \frac{1}{6} |2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}| \]

\[ = \frac{1}{6} |2 \cdot (2 \cdot 1 - 2 \cdot 7) - 3 \cdot (6 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + 4 \cdot (6 \cdot 7 - 2 \cdot 3)| \]

\[ = \frac{1}{6} |2 \cdot (2 - 14) - 3 \cdot (6 - 6) + 4 \cdot (42 - 6)| \]

\[ = \frac{1}{6} |2 \cdot (-12) - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 36| = \frac{1}{6} |-24 + 0 + 144| = \frac{1}{6} |120| = 20 \]

Объем пирамиды равен 20.

9. Показать, что точки A(5;7;-2), B(3;1;-1), C(9;4;-4) и D(1;5;0) лежат в одной плоскости.

Точки лежат в одной плоскости, если объем тетраэдра, образованного этими точками, равен нулю.

Найдем векторы AB, AC и AD:

\[ \vec{AB} = (3 - 5, 1 - 7, -1 - (-2)) = (-2, -6, 1) \]

\[ \vec{AC} = (9 - 5, 4 - 7, -4 - (-2)) = (4, -3, -2) \]

\[ \vec{AD} = (1 - 5, 5 - 7, 0 - (-2)) = (-4, -2, 2) \]

Вычислим смешанное произведение векторов AB, AC и AD:

\[ V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}))| = \frac{1}{6} |\begin{vmatrix} -2 & -6 & 1 \\ 4 & -3 & -2 \\ -4 & -2 & 2 \end{vmatrix}| \]

\[ = \frac{1}{6} |(-2) \cdot \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - (-6) \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -4 & -2 \end{vmatrix}| \]

\[ = \frac{1}{6} |(-2) \cdot ((-3) \cdot 2 - (-2) \cdot (-2)) + 6 \cdot (4 \cdot 2 - (-2) \cdot (-4)) + 1 \cdot (4 \cdot (-2) - (-3) \cdot (-4))| \]

\[ = \frac{1}{6} |(-2) \cdot (-6 - 4) + 6 \cdot (8 - 8) + 1 \cdot (-8 - 12)| \]

\[ = \frac{1}{6} |(-2) \cdot (-10) + 6 \cdot 0 + 1 \cdot (-20)| \]

\[ = \frac{1}{6} |20 + 0 - 20| = \frac{1}{6} |0| = 0 \]

Так как объем равен нулю, точки лежат в одной плоскости.