17) Ульяна задумала двузначное число. Затем она нашла сумму цифр этого числа и произведение цифр этого числа, записала сумму и про- изведение рядом в каком-то порядке, и получилось число 1130. Какое число задумала Ульяна? Найдите все варианты и докажите, что других нет. Объясните решение.

Ответ: 56 или 65

Решение:

Пусть задуманное число имеет вид 10a + b, где a и b - цифры от 0 до 9.

По условию, сумма цифр a + b и произведение цифр a * b, записанные рядом, дают число 1130. Возможны два варианта:

1. Сумма цифр равна 11, а произведение – 30, то есть: \[ a + b = 11\] \[ a \cdot b = 30\]
   Показать решение системы уравнений

   1. Выразим a через b из первого уравнения: a = 11 - b.
   2. Подставим это выражение во второе уравнение: (11 - b) * b = 30.
   3. Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: 11b - b^2 = 30, или b^2 - 11b + 30 = 0.
   4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1\] \[ b_1 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[ b_2 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5\]
   5. Если b = 6, то a = 11 - 6 = 5. Получаем число 56.
   6. Если b = 5, то a = 11 - 5 = 6. Получаем число 65.
2. Сумма цифр равна 1, а произведение – 130. Но это невозможно, так как произведение двух однозначных чисел не может быть равно 130.

Проверим полученные числа:

• Для числа 56: сумма цифр 5 + 6 = 11, произведение цифр 5 * 6 = 30. Записав рядом, получим 1130.
• Для числа 65: сумма цифр 6 + 5 = 11, произведение цифр 6 * 5 = 30. Записав рядом, получим 1130.

Таким образом, Ульяна могла задумать числа 56 или 65.

Ответ: 56 или 65