Укажите решение неравенства x - x^2 < 0 .

Решение:

Решим неравенство \( x - x^2 < 0 \).

1. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(1 - x) < 0 \).
2. Найдем корни уравнения \( x(1 - x) = 0 \): \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \).
3. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 1) \), \( (1; +\infty) \).
4. Проверим знак выражения \( x(1 - x) \) на каждом интервале:
   • На \( (-\infty; 0) \): возьмем \( x = -1 \), тогда \( -1(1 - (-1)) = -1(2) = -2 < 0 \).
   • На \( (0; 1) \): возьмем \( x = 0.5 \), тогда \( 0.5(1 - 0.5) = 0.5(0.5) = 0.25 > 0 \).
   • На \( (1; +\infty) \): возьмем \( x = 2 \), тогда \( 2(1 - 2) = 2(-1) = -2 < 0 \).
5. Неравенство \( x(1 - x) < 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (1; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \).