Укажите решение неравенства х²+6x ≤ -8.

Решение:

Перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить ноль в правой части:

\[ x^2 + 6x + 8 \leq 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения x² + 6x + 8 = 0. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета.

По теореме Виета:

• Сумма корней: x₁ + x₂ = -6
• Произведение корней: x₁ * x₂ = 8

Подбираем числа: -4 и -2. (-4) + (-2) = -6; (-4) * (-2) = 8. Значит, корни:

\[ x_1 = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = -2 \]

Теперь определим знаки интервалов на числовой прямой. Парабола y = x² + 6x + 8 ветвями вверх, поэтому значения будут отрицательными между корнями.

• Интервал (-\infty; -4]: Возьмем x = -5. (-5)² + 6(-5) + 8 = 25 - 30 + 8 = 3. Знак положительный.
• Интервал [-4; -2]: Возьмем x = -3. (-3)² + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. Знак отрицательный (≤ 0).
• Интервал [-2; +\infty): Возьмем x = 0. (0)² + 6(0) + 8 = 8. Знак положительный.

Нам нужно найти интервал, где выражение ≤ 0. Это интервал [-4; -2].

Ответ: 3) [-4; -2]