Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1). Угол С треугольника АВС- прямой. AD- перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Докажите, что треугольник BCD- прямоугольный. 2). ABCD- квадрат, диагонали которого пересекаются в точке Е. АН- перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые НЕ и BD перпендикулярны. 3). Из вершины А квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр АЕ длиной 12 см. докажите, что треугольник ВСЕ- прямоугольный. Найдите его площадь. 4). Катеты прямоугольного треугольника АВС 15 см и 20 см. Из вершины прямого угла С проведен отрезок CD, перпендикулярный плоскости этого треугольника. CD=35 см. Найдите расстояние от точки В до гипотенузы АВ. 5). Отрезок АМ перпендикулярен плоскости треугольника АВС и имеет длину 24 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ=АС=20 см., ВС=24 CM. 6). Из вершины С правильного треугольника АВС со стороной 10 см проведен к его плоскости перпендикуляр СМ длиной 6 см. Вычислить расстояние от точки М до стороны АВ.
Ответ:
Математика - это интересно, давай решим эти задачи!
Задача 1:
Угол C треугольника ABC - прямой. AD перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Нужно доказать, что треугольник BCD - прямоугольный.
Доказательство:
1. Так как AD перпендикулярна плоскости ABC, то AD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, AD перпендикулярна AC и AD перпендикулярна BC.
2. Рассмотрим треугольник ADC. Он прямоугольный, так как угол DAC прямой.
3. Рассмотрим треугольник ADB. Он прямоугольный, так как угол DAB прямой.
4. Рассмотрим треугольник BCD. Нужно доказать, что он прямоугольный.
5. По теореме о трех перпендикулярах, если AD перпендикулярна BC, и DC - проекция BD на плоскость ABC, то DC перпендикулярна BC.
6. Следовательно, угол BCD прямой, и треугольник BCD - прямоугольный.
Задача 2:
ABCD - квадрат, диагонали которого пересекаются в точке E. AH перпендикулярна плоскости квадрата. Нужно доказать, что прямые HE и BD перпендикулярны.
Доказательство:
1. Так как ABCD - квадрат, его диагонали BD и AC перпендикулярны и пересекаются в точке E.
2. AH перпендикулярна плоскости квадрата, значит, AH перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, AH перпендикулярна BD.
3. Рассмотрим прямую BD. Она перпендикулярна AC (свойство диагоналей квадрата) и AH (так как AH перпендикулярна плоскости квадрата).
4. Значит, BD перпендикулярна плоскости AHC.
5. Прямая HE лежит в плоскости AHC, следовательно, BD перпендикулярна HE.
Задача 3:
Из вершины A квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. Нужно доказать, что треугольник BCE - прямоугольный и найти его площадь.
Доказательство:
1. AE перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, значит, AE перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, AE перпендикулярна AB и AD.
2. Рассмотрим треугольник ABE. Он прямоугольный, так как угол EAB прямой. По теореме Пифагора: BE^2 = AE^2 + AB^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400. Значит, BE = 20 см.
3. Рассмотрим треугольник ACE. Он прямоугольный, так как угол EAC прямой. По теореме Пифагора: CE^2 = AE^2 + AC^2 = 12^2 + (16\(\sqrt{2}\))^2 = 144 + 512 = 656. Значит, CE = \(\sqrt{656}\) см.
4. Рассмотрим треугольник BCE. BC = 16 см, BE = 20 см.
5. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника BCE: CE^2 = BC^2 + BE^2. 656 = 16^2 + 20^2 = 256 + 400 = 656.
6. Так как теорема Пифагора выполняется, треугольник BCE - прямоугольный.
7. Площадь треугольника BCE: S = 1/2 * BC * BE = 1/2 * 16 * 20 = 160 см^2.
Задача 4:
Катеты прямоугольного треугольника ABC 15 см и 20 см. Из вершины прямого угла C проведен отрезок CD, перпендикулярный плоскости этого треугольника. CD = 35 см. Нужно найти расстояние от точки D до гипотенузы AB.
Решение:
1. Найдем гипотенузу AB треугольника ABC по теореме Пифагора: AB^2 = AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625. Значит, AB = 25 см.
2. Площадь треугольника ABC: S = 1/2 * AC * BC = 1/2 * 15 * 20 = 150 см^2.
3. Высота CH, проведенная к гипотенузе AB: CH = (2 * S) / AB = (2 * 150) / 25 = 300 / 25 = 12 см.
4. CD перпендикулярна плоскости ABC, значит, CD перпендикулярна CH. Треугольник CDH - прямоугольный.
5. Расстояние DH от точки D до гипотенузы AB: DH^2 = CD^2 + CH^2 = 35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369. Значит, DH = \(\sqrt{1369}\) = 37 см.
Задача 5:
Отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC и имеет длину 24 см. Нужно найти расстояние от точки M до прямой BC, если AB = AC = 20 см, BC = 24 см.
Решение:
1. Пусть H - середина BC. Так как AB = AC, треугольник ABC - равнобедренный, и AH - высота и медиана.
2. AH^2 = AB^2 - BH^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256. Значит, AH = 16 см.
3. AM перпендикулярна плоскости ABC, значит, AM перпендикулярна AH. Треугольник AMH - прямоугольный.
4. Расстояние MH от точки M до прямой BC: MH^2 = AM^2 + AH^2 = 24^2 + 16^2 = 576 + 256 = 832. Значит, MH = \(\sqrt{832}\) = 4\(\sqrt{52}\) = 8\(\sqrt{13}\) см.
Задача 6:
Из вершины C правильного треугольника ABC со стороной 10 см проведен к его плоскости перпендикуляр CM длиной 6 см. Нужно вычислить расстояние от точки M до стороны AB.
Решение:
1. Пусть H - середина AB. CH - высота и медиана правильного треугольника ABC.
2. CH = (\(\sqrt{3}\) / 2) * AB = (\(\sqrt{3}\) / 2) * 10 = 5\(\sqrt{3}\) см.
3. CM перпендикулярна плоскости ABC, значит, CM перпендикулярна CH. Треугольник CMH - прямоугольный.
4. Расстояние MH от точки M до стороны AB: MH^2 = CM^2 + CH^2 = 6^2 + (5\(\sqrt{3}\))^2 = 36 + 75 = 111. Значит, MH = \(\sqrt{111}\) см.
Ответ: Решения выше.
Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и математика покорится тебе!
