Решение задач

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите углы при основании этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть x - угол при основании. Сумма углов треугольника равна 180°.

$$x + x + 100 = 180$$

$$2x = 180 - 100$$

$$2x = 80$$

$$x = 40$$

Ответ: Углы при основании равны 40°.

---

2. Найдите градусную меру угла BDT (рис. 56).

К сожалению, рисунок 56 неразборчив, и я не могу определить градусную меру угла BDT. Пожалуйста, предоставьте более четкое изображение.

---

3. Какова градусная мера угла B, изображённого на рисунке 57?

На рисунке 57 угол E = 35°. Так как сумма углов треугольника равна 180°:

$$∠B = 180° - ∠A - ∠E$$

$$∠B = 180° - 90° - 35°$$

$$∠B = 55°$$

Ответ: 55°.

---

4. Докажите, что АО = СО (рис. 58), если известно, что АВ = CD и АВ || CD.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Так как AB || CD и AB = CD, то ABCD - параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, АО = СО.

---

5. В треугольнике DAB известно, что ∠A = 90°, ∠D = 30°, отрезок ВТ — биссектриса треугольника. Найдите катет DA, если DT=8 см.

Так как ВТ - биссектриса, то угол DBT = углу TBA = углу D/2 = 30°/2 = 15°.

В прямоугольном треугольнике DAT, где угол A = 90°, мы имеем DT = 8 см. Нужно найти катет DA.

$$cos(∠D) = \frac{DA}{DT}$$

$$DA = DT * cos(∠D)$$

$$DA = 8 * cos(30°)$$

$$DA = 8 * \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$DA = 4\sqrt{3}$$

Ответ: $$DA = 4\sqrt{3}$$ см.