1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 82°. Найдите градусную меру угла при вершине треугольника. 2. Найдите градусную меру угла BMF (рис. 59). 3. Какова градусная мера угла В, изображённого на рисунке 60? 4. Докажите, что ∠AFN=∠MNF (рис. 61), если известно, что AN = FM

1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 82°. Найдите градусную меру угла при вершине треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть угол при вершине равен x.

Тогда:

\[82 + 82 + x = 180\] \[164 + x = 180\] \[x = 180 - 164\] \[x = 16\]

Ответ: 16°

2. Найдите градусную меру угла BMF (рис. 59).

Давай внимательно посмотрим на рисунок 59. Нам нужно найти угол BMF.

Сначала определим угол BFA. Угол DFA смежный с углом 92 градуса. Сумма смежных углов равна 180 градусам.

\[∠DFA = 180 - 92 = 88°\]

Теперь рассмотрим четырехугольник ABFC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов.

\[∠ABF + ∠BFA + ∠FCA + ∠CAB = 360°\]

Подставим известные значения:

\[65 + 88 + 88 + ∠CAB = 360°\] \[241 + ∠CAB = 360°\] \[∠CAB = 360 - 241 = 119°\]

Теперь найдем угол BAF:

\[∠BAF = 180 - ∠CAB = 180 - 119 = 61°\]

Теперь мы можем найти угол BMF. Угол BMF является внешним углом треугольника ABF, поэтому:

\[∠BMF = ∠BAF + ∠ABF = 61 + 65 = 126°\]

Ответ: 126°

3. Какова градусная мера угла В, изображённого на рисунке 60?

На рисунке 60 изображен треугольник AOD. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

Тогда угол A равен 32 градуса, угол O равен 54 градуса. Значит, угол D равен:

\[∠D = 180 - ∠A - ∠O = 180 - 32 - 54 = 94°\]

Угол B смежный с углом DFE, который равен 45 градусам.

Тогда:

\[∠DFE + ∠EFD = 180°\] \[∠EFD = 180° - 45° = 135°\]

Угол B вертикальный с углом EFD.

Значит:

\[∠B = ∠EFD = 135°\]

Ответ: 135°

4. Докажите, что ∠AFN=∠MNF (рис. 61), если известно, что AN = FM

К сожалению, рисунок 61 отсутствует, и я не могу доказать, что ∠AFN=∠MNF.