Угол между высотой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 33°. Найди больший из острых углов этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Проведем из вершины C высоту CH и медиану CM.

По условию, угол между высотой CH и медианой CM равен 33°, то есть ∠HCM = 33°.

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, AM = BM = CM. Отсюда, треугольник AMC - равнобедренный, и ∠MAC = ∠MCA.

Обозначим ∠MAC = ∠MCA = x.

Тогда, ∠ACB = ∠ACH + ∠HCM + ∠MCB = 90°.

∠ACH = 90° - ∠A = 90° - x.

С другой стороны, ∠MCA = x, и ∠HCM = 33°, следовательно, ∠MCA = ∠HCM + ∠HCA.

В равнобедренном треугольнике AMC углы при основании равны. То есть ∠MAC = ∠MCA = x.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Так как ∠C = 90°, то ∠A + ∠B = 90°.

Пусть ∠A = x + 33°. Так как треугольник AMC равнобедренный (AM = CM), то ∠MAC = ∠ACM = ∠A = x. Тогда ∠AMC = 180° - 2x.

В треугольнике СМВ также СМ = ВМ, следовательно, он тоже равнобедренный. Тогда ∠МСВ = ∠МВС.

∠АСМ = ∠ACH + ∠HCM, где ∠HCM = 33°. Значит x = ∠ACH + 33°.

∠ACH = 90° - ∠A = 90° - (x + 33°) = 57° - x. Тогда x = 57° - x + 33°, откуда 2x = 90°, x = 45°.

Таким образом, один из углов равен ∠A = x, а другой ∠B = 90 - x.

Раз ∠HCM = 33°, то ∠ACM = ∠ACH + 33° и ∠MCA = x.

По свойству углов в прямоугольном треугольнике: ∠A + ∠B = 90°. Если ∠A > ∠B, то ∠A - больший угол.

Если ∠A + ∠B = 90, то ∠A = 90 - ∠B.

Допустим, ∠B = у. Тогда ∠A = 90 - у.

Так как ∠HCM = 33°, то ∠MCA = у = ∠MCH + 33°, ∠BCA = 90°. ∠BCA = ∠MCB + ∠MCA = 90°.

Т. к. CM - медиана, AM = BM, значит, ΔCMA - равнобедренный. ∠MCA = ∠MAC = у.

Следовательно, ∠CMA = 180 - 2у. ∠MCB = 90 - у.

∠А = 90 - у. И мы знаем, что ∠HCM = 33°. Т.к. CH – высота, ∠ACH = 90 - (90-у) = у.

Из условия ∠HCM = 33°, тогда у = 33° + (90 - (90-у)). ∠МCA = ∠А = 57°.

∠B = 90 - 57 = 33°.

Больший из углов равен 57°.

Ответ: 57