Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Полученный ответ запишите в градусах.

Ответ: 31°

Разбираемся:

Пусть заданный прямоугольный треугольник — это \(\triangle ABC\), где \(\angle C = 90^\circ\). Пусть \(CH\) — биссектриса, а \(CD\) — медиана, проведенные из вершины прямого угла \(C\). Угол между биссектрисой и медианой равен \(\angle DCH = 14^\circ\).

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то есть \(AD = BD = CD\). Следовательно, \(\triangle ADC\) — равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle DAC = \(\angle DCA\).

Шаг 1: Обозначим \(\angle DCA = x\). Тогда \(\angle DAC = x\).

Шаг 2: Биссектриса делит прямой угол пополам, следовательно, \(\angle ACH = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\).

Шаг 3: Выразим \(\angle DCA\) через известные углы: \(\angle DCA = \angle DCH + \angle HCA\), то есть \(x = 14^\circ + 45^\circ = 59^\circ\). Таким образом, \(\angle DCA = \angle DAC = 59^\circ\).

Шаг 4: Найдем \(\angle B\). В прямоугольном \(\triangle ABC\) сумма острых углов равна 90°: \(\angle A + \angle B = 90^\circ\). Значит, \(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ\).

Шаг 5: Определим меньший угол прямоугольного треугольника. Углы \(\triangle ABC\) равны \(90^\circ\), \(59^\circ\) и \(31^\circ\). Меньший из них — \(31^\circ\).

Ответ: 31°