Углы треугольника находятся в отношении 2 : 3 : 7. Если длина наименьшей стороны равна 5, найди радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

1. Пусть углы треугольника равны \( 2x \), \( 3x \) и \( 7x \). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \( 2x + 3x + 7x = 180° \).
2. \( 12x = 180° \)
3. \( x = \frac{180°}{12} = 15° \)
4. Углы треугольника равны: \( \alpha = 2x = 2 · 15° = 30° \), \( \beta = 3x = 3 · 15° = 45° \), \( \gamma = 7x = 7 · 15° = 105° \).
5. Наименьший угол равен 30°, напротив него лежит наименьшая сторона. По условию, длина наименьшей стороны равна 5.
6. Используем теорему синусов для нахождения радиуса описанной окружности \( R \): \( \frac{a}{\sin \alpha} = 2R \), где \( a \) — сторона, противолежащая углу \( \alpha \).
7. Подставляем известные значения: \( \frac{5}{\sin 30°} = 2R \).
8. Так как \( \sin 30° = 0.5 \), получаем: \( \frac{5}{0.5} = 2R \)
9. \( 10 = 2R \)
10. \( R = \frac{10}{2} = 5 \)

Ответ: 5.