Углы треугольника АВС относятся так: ∠A:∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 10. Найдите длину отрезка МС.

Пусть ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому x + 2x + 3x = 180°, откуда 6x = 180°, и x = 30°.

Следовательно, ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 30°.

Так как ∠A = ∠C, треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Биссектриса ВМ делит угол В пополам, то есть ∠ABM = ∠CBM = 60°/2 = 30°.

В треугольнике ВМС: ∠C = 30°, ∠CBM = 30°. Следовательно, треугольник ВМС равнобедренный с основанием ВС, и МС = ВМ.

Так как ВМ = 10, то МС = 10.