Углы треугольника ABC относятся так: ∠A: ∠B: ∠C = 1:2:3. Биссектриса BM угла AB равна 20. Найдите длину отрезка MC.

Решение:

• Обозначим углы треугольника ABC как x, 2x и 3x. Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому составим уравнение:

\[x + 2x + 3x = 180\]\[6x = 180\]\[x = 30\]

• Тогда углы треугольника равны:

\(∠A = 30°\), \(∠B = 2 \cdot 30° = 60°\), \(∠C = 3 \cdot 30° = 90°\)

• Так как угол C равен 90 градусам, треугольник ABC — прямоугольный. BM — биссектриса угла B, значит, \(∠ABM = ∠MBC = 60° : 2 = 30°\).
• Рассмотрим треугольник ABM. Угол \(∠A = 30°\), угол \(∠ABM = 30°\). Следовательно, треугольник ABM — равнобедренный с основанием BM, значит, AM = BM = 20.
• По свойству биссектрисы в треугольнике, биссектриса делит сторону AC на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

\[\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}\]

• В прямоугольном треугольнике ABC с углом \(∠A = 30°\), катет BC равен половине гипотенузы AB. То есть, AB = 2BC.
• Подставим это в пропорцию:

\[\frac{AM}{MC} = \frac{2BC}{BC}\]\[\frac{AM}{MC} = 2\]

• Теперь подставим известное значение AM = 20:

\[\frac{20}{MC} = 2\]\[MC = \frac{20}{2}\]\[MC = 10\]

Ответ: 10