23. Углы N и K треугольника MNK равны соответственно 75° и 60°. Найди NK, если радиус окружности, описанной около треугольника MNK, равен 15. В ответ укажи длину NK, делённую на √2.

Рассмотрим треугольник MNK. Известны два угла: ∠N = 75° и ∠K = 60°. Найдем угол M: ∠M = 180° - ∠N - ∠K = 180° - 75° - 60° = 45°. По теореме синусов, имеем: $$\frac{NK}{\sin M} = 2R$$, где R - радиус описанной окружности. Из условия задачи R = 15. Тогда: $$\frac{NK}{\sin 45°} = 2 \cdot 15$$ $$\frac{NK}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 30$$ $$NK = 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$$ В ответе просят указать длину NK, делённую на \(\sqrt{2}\). То есть, необходимо найти: $$\frac{NK}{\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 15$$ Ответ: 15