1. Угловая высота Солнца над горизонтом равна 60°. Какой длины будет тень на земле от вертикально поставленного столба высотой 2 м? 2. В солнечный день длина тени от отвесно поставленной метровой линейки равна 50 см, а от дерева — 6 м. Чему равна высота дерева? 3. Телеграфный столб, освещённый Солнцем, отбрасывает тень длиной 6,9 м, а вертикально стоящий шест высотой 1 м — длиной 1,1 м. Чему равна высота телеграфного столба? 4. Постройте изображение предмета в плоском зеркале и определите графически область видения (рис. 7.11). 5. Матовая электрическая лампочка сферической формы радиусом 3 см освещает глобус радиусом 13 см. Определите диаметр полной тени и полутени глобуса на стене. Расстояние от лампочки до глобуса 1 м, а от глобуса до стены 2 м.

1. Угловая высота Солнца над горизонтом равна 60°. Какой длины будет тень на земле от вертикально поставленного столба высотой 2 м?

Логика такая: Тень от столба можно найти, используя тангенс угла: \[\tan(60^\circ) = \frac{высота столба}{длина тени}\] Известно, что высота столба равна 2 м, а \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\). Подставим значения: \[\sqrt{3} = \frac{2}{длина тени}\] Выразим длину тени: \[длина тени = \frac{2}{\sqrt{3}}\] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[длина тени = \frac{2\sqrt{3}}{3}\] Приближенно: \[длина тени \approx \frac{2 \cdot 1.732}{3} \approx \frac{3.464}{3} \approx 1.15 \text{ м}\]

Ответ: Длина тени равна \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) м, что приблизительно равно 1.15 м.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что чем больше угол, тем короче тень (логично для высоты Солнца).

Доп. профит: Запомни, что тангенс 60 градусов равен \(\sqrt{3}\). Это часто встречается в задачах.

2. В солнечный день длина тени от отвесно поставленной метровой линейки равна 50 см, а от дерева — 6 м. Чему равна высота дерева?

Разбираемся: Сначала переведём все измерения в одну систему, например, в метры. Длина тени от линейки равна 50 см, что составляет 0.5 м. Теперь составим пропорцию: \[\frac{высота линейки}{длина тени от линейки} = \frac{высота дерева}{длина тени от дерева}\] Подставим известные значения: \[\frac{1 \text{ м}}{0.5 \text{ м}} = \frac{высота дерева}{6 \text{ м}}\] Решим пропорцию для нахождения высоты дерева: \[высота дерева = \frac{1 \text{ м} \cdot 6 \text{ м}}{0.5 \text{ м}} = \frac{6}{0.5} = 12 \text{ м}\]

Ответ: Высота дерева равна 12 м.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что тень от дерева в 12 раз больше тени от линейки (6 м / 0.5 м = 12), значит, и дерево в 12 раз выше линейки (1 м * 12 = 12 м).

Доп. профит: Запомни, что подобные задачи легко решаются через пропорции. Главное — правильно составить отношение.

3. Телеграфный столб, освещённый Солнцем, отбрасывает тень длиной 6,9 м, а вертикально стоящий шест высотой 1 м — длиной 1,1 м. Чему равна высота телеграфного столба?

Смотри, тут всё просто: Составим пропорцию: \[\frac{высота шеста}{длина тени от шеста} = \frac{высота столба}{длина тени от столба}\] Подставим значения: \[\frac{1 \text{ м}}{1.1 \text{ м}} = \frac{высота столба}{6.9 \text{ м}}\] Решим пропорцию для нахождения высоты столба: \[высота столба = \frac{1 \text{ м} \cdot 6.9 \text{ м}}{1.1 \text{ м}} = \frac{6.9}{1.1} \approx 6.27 \text{ м}\]

Ответ: Высота телеграфного столба примерно равна 6.27 м.

Проверка за 10 секунд: Пропорция составлена верно, числа подставлены корректно, вычисления проверены.

Доп. профит: Помни, что в задачах на пропорции важно правильно соотносить величины: высота к высоте, тень к тени.

4. Постройте изображение предмета в плоском зеркале и определите графически область видения (рис. 7.11).

К сожалению, я не могу построить изображение графически. Однако, я могу описать, как это сделать: 1. Построение изображения: * Для каждой точки предмета найдите её отражение в зеркале. Отражение находится на таком же расстоянии от зеркала, как и точка, но с другой стороны. * Соедините отраженные точки, чтобы получить изображение предмета. 2. Определение области видения: * Выберите точку наблюдения (глаз). * Проведите лучи от точки наблюдения к краям зеркала. * Отразите эти лучи от зеркала. Область между отраженными лучами и будет областью видения.

5. Матовая электрическая лампочка сферической формы радиусом 3 см освещает глобус радиусом 13 см. Определите диаметр полной тени и полутени глобуса на стене. Расстояние от лампочки до глобуса 1 м, а от глобуса до стены 2 м.

Сначала разберемся, что тут происходит: Представим себе, что лампочка – это точка, из которой исходят лучи. Глобус находится между лампочкой и стеной. Тень и полутень образуются из-за того, что глобус блокирует часть света. 1. Диаметр полной тени: * Рассмотрим подобные треугольники, образованные лампочкой, глобусом и тенью на стене. Отношение радиусов лампочки и глобуса равно отношению расстояний от лампочки до глобуса и до стены. * Радиус лампочки \(r_л = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}\), радиус глобуса \(r_г = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}\). Расстояние от лампочки до глобуса \(L_1 = 1 \text{ м}\), от глобуса до стены \(L_2 = 2 \text{ м}\). Общее расстояние от лампочки до стены \(L = L_1 + L_2 = 3 \text{ м}\). * \(\frac{r_г}{R} = \frac{L_1}{L}\), где \(R\) - радиус тени на стене. * \(\frac{0.13}{R} = \frac{1}{3}\), следовательно, \(R = 0.13 \cdot 3 = 0.39 \text{ м} = 39 \text{ см}\). * Диаметр полной тени: \(D = 2R = 2 \cdot 39 = 78 \text{ см}\). 2. Диаметр полутени: * Рассмотрим подобные треугольники, образованные лампочкой, краем глобуса и краем полутени на стене. Отношение радиуса лампочки к радиусу полутени равно отношению расстояний от лампочки до глобуса и до стены. * Здесь сложнее, так как полутень образуется не только от размера глобуса, но и от размера лампочки. Можно оценить размер полутени, учитывая размер лампочки и глобуса. Но для точного расчета нужна более сложная геометрия. Оценочно, диаметр полутени будет больше диаметра тени, но точное значение требует дополнительных вычислений или графического построения.

Ответ: Диаметр полной тени равен 78 см. Диаметр полутени требует дополнительных расчетов.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что радиус тени на стене больше радиуса глобуса, что логично при заданных расстояниях.

Доп. профит: Запомни, что в задачах на тени и полутени важно использовать подобие треугольников и учитывать размеры источника света.