У Вани есть пять механических будильников, каждый из которых звенит, соответственно, 1, 2, 3, 4 и 8 минут, после чего замолкает на одну минуту, и затем начинает звенеть снова. И так до тех пор, пока его не отключат. Ваня завёл будильники на 8:00 утра, но, по счастливому стечению обстоятельств, проснулся сам и ушёл на тренировку. В 8:00 все пять будильников начали звонить. Ваня вернулся в первый момент, когда ни один будильник не звенел после 8:00. Через сколько минут после начала звона будильников он вернулся?

Анализ задачи

Это математическая задача, требующая анализа временных интервалов и логического мышления.

Дано:

• Пять будильников звенят поочередно: 1, 2, 3, 4 и 8 минут.
• После каждого звонка будильник молчит 1 минуту.
• Все будильники начали звонить в 8:00.
• Ваня вернулся в первый момент, когда ни один будильник не звенел.

Найти:

Через сколько минут после начала звона будильников Ваня вернулся.

Решение:

Рассмотрим, когда каждый будильник закончит звонить и отдыхать в первый раз:

• 1-й будильник: звенит 1 минуту, молчит 1 минуту. Итого: 2 минуты.
• 2-й будильник: звенит 2 минуты, молчит 1 минуту. Итого: 3 минуты.
• 3-й будильник: звенит 3 минуты, молчит 1 минуту. Итого: 4 минуты.
• 4-й будильник: звенит 4 минуты, молчит 1 минуту. Итого: 5 минут.
• 5-й будильник: звенит 8 минут, молчит 1 минуту. Итого: 9 минут.

Чтобы найти первый момент, когда ни один будильник не звенел, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) времени, через которое каждый будильник повторяет свой цикл (звонок + тишина). Однако, поскольку нас интересует первый момент, когда *ни один* не звонит, нам нужно найти момент, когда все будильники находятся в фазе тишины одновременно.

Проверим по минутам:

• Через 1 минуту после начала звонка звенит 1-й будильник.
• Через 2 минуты после начала звонка звенит 2-й будильник.
• Через 3 минуты после начала звонка звенит 3-й будильник.
• Через 4 минуты после начала звонка звенит 4-й будильник.
• Через 5, 6, 7, 8 минуты звенит 5-й будильник.

Будильники звонят циклично, поэтому ищем момент, когда они все будут молчать:

• 1-й молчит на 2-й минуте.
• 2-й молчит на 3-й минуте.
• 3-й молчит на 4-й минуте.
• 4-й молчит на 5-й минуте.
• 5-й молчит на 9-й минуте.

Все будильники начали звонить в 8:00. Определим, через сколько минут не будет звонить ни один из них.

• 1-й будильник за 2 минуты: 1 минута звонит и 1 минуту молчит.
• 2-й будильник за 3 минуты: 2 минуты звонит и 1 минуту молчит.
• 3-й будильник за 4 минуты: 3 минуты звонит и 1 минуту молчит.
• 4-й будильник за 5 минут: 4 минуты звонит и 1 минуту молчит.
• 5-й будильник за 9 минут: 8 минут звонит и 1 минуту молчит.

Чтобы определить этот момент, построим таблицу. Каждый будильник начнет звонить в 8:00.

Важно: Нам нужно найти первый момент, когда ни один из будильников не звенит. Это значит, что все они находятся в фазе молчания.

Сопоставим время работы каждого будильника. Первый будильник заканчивает звонить и начинает молчать на 2-й минуте, второй - на 3-й, третий - на 4-й, четвертый - на 5-й, пятый - на 9-й. Значит, искомое время должно быть кратно 2, 3, 4, 5 и 9. Найдем наименьшее общее кратное этих чисел. НОК(2, 3, 4, 5, 9) = 180.

Чтобы убедиться, что Ваня вернулся в первый такой момент, разберем подробнее. Рассмотрим момент времени сразу после завершения звонка каждым из будильников.

• Первый будильник: звонит 1 минуту, молчит 1 минуту. Полный цикл – 2 минуты.
• Второй будильник: звонит 2 минуты, молчит 1 минуту. Полный цикл – 3 минуты.
• Третий будильник: звонит 3 минуты, молчит 1 минуту. Полный цикл – 4 минуты.
• Четвертый будильник: звонит 4 минуты, молчит 1 минуту. Полный цикл – 5 минут.
• Пятый будильник: звонит 8 минут, молчит 1 минуту. Полный цикл – 9 минут.

Чтобы найти момент, когда они все молчат, нужно найти НОК (2, 3, 4, 5, 9).

Разложим числа на простые множители:

• 2 = 2
• 3 = 3
• 4 = 2 * 2
• 5 = 5
• 9 = 3 * 3

НОК (2, 3, 4, 5, 9) = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180.

Проверим. Через 180 минут все будильники завершат свои циклы и будут в фазе молчания. Так как нам нужен первый момент, это и есть ответ.

Ответ: 180