У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера: 1. возведи в квадрат 2. прибавь 2 Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая увеличивает его на 2. Составьте алгоритм получения из числа 4 числа 68, содержащий не более 5 команд. В ответе запишите только номера команд. (Например, 12221 — это алгоритм: возведи в квадрат прибавь 2 прибавь 2 прибавь 2 возведи в квадрат, который преобразует число 3 в 225.) Если таких алгоритмов более одного, то запишите любой из них. Ответ:

Решение:

Нам нужно получить число 68 из числа 4, используя не более 5 команд.

Команды:

1. Возвести в квадрат (x → x²)
2. Прибавить 2 (x → x + 2)

Попробуем найти алгоритм:

1. Начнём с числа 4.
2. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 4 + 2 = 6 \).
3. Применим команду 1 (возвести в квадрат): \( 6^2 = 36 \).
4. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 36 + 2 = 38 \).
5. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 38 + 2 = 40 \).

Этот алгоритм 2122 дает 40, а нам нужно 68.

Попробуем другой вариант:

1. Начнём с числа 4.
2. Применим команду 1 (возвести в квадрат): \( 4^2 = 16 \).
3. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 16 + 2 = 18 \).
4. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 18 + 2 = 20 \).
5. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 20 + 2 = 22 \).

Этот алгоритм 1222 дает 22, тоже не 68.

Попробуем ещё:

1. Начнём с числа 4.
2. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 4 + 2 = 6 \).
3. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 6 + 2 = 8 \).
4. Применим команду 1 (возвести в квадрат): \( 8^2 = 64 \).
5. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 64 + 2 = 66 \).

Этот алгоритм 2212 дает 66, почти 68.

Ещё один вариант:

1. Начнём с числа 4.
2. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 4 + 2 = 6 \).
3. Применим команду 1 (возвести в квадрат): \( 6^2 = 36 \).
4. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 36 + 2 = 38 \).
5. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 38 + 2 = 40 \).

Проверим ещё такой вариант:

1. Начнём с числа 4.
2. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 4 + 2 = 6 \).
3. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 6 + 2 = 8 \).
4. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 8 + 2 = 10 \).
5. Применим команду 1 (возвести в квадрат): \( 10^2 = 100 \).

Этот алгоритм 2221 дает 100.

Попробуем найти, как получить 68. Может быть, сначала возвести в квадрат, а потом прибавлять:

1. Начнём с числа 4.
2. Применим команду 1 (возвести в квадрат): \( 4^2 = 16 \).
3. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 16 + 2 = 18 \).
4. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 18 + 2 = 20 \).
5. Применим команду 2 (прибавить 2): \( 20 + 2 = 22 \).

Попробуем с конца. Чтобы получить 68, мы могли прибавить 2 (получив 66) или возвести в квадрат (получив \( √68 \), что не целое число).

Если предыдущее число было 66, то нужно 5 команд: 2212. \( 4 → 6 → 8 → 64 → 66 \). Не подходит.

Если предыдущее число было 34 (т.к. \( 34+34 \) не 68, а \( √34 \) не целое).

Давайте ещё раз:

1. \( 4 \rightarrow 4^2 = 16 \) (1)
2. \( 16 \rightarrow 16+2 = 18 \) (2)
3. \( 18 \rightarrow 18+2 = 20 \) (2)
4. \( 20 \rightarrow 20+2 = 22 \) (2)

Алгоритм 1222 дает 22.

Рассмотрим алгоритм \( 222 \). \( 4 \rightarrow 6 \rightarrow 8 \rightarrow 10 \). Команды 222.

Рассмотрим алгоритм \( 212 \). \( 4 \rightarrow 6 \rightarrow 36 \rightarrow 38 \). Команды 212.

Рассмотрим алгоритм \( 221 \). \( 4 \rightarrow 6 \rightarrow 8 \rightarrow 64 \). Команды 221.

Нам нужно получить 68. Попробуем получить из числа 66 (прибавив 2) или из числа \( √68 \) (что не целое).

Если мы хотим получить 68, и последняя команда - прибавить 2, то предыдущее число должно быть 66. Как получить 66? Например, \( 64+2 \). \( 64 \) это \( 8^2 \). \( 8 \) это \( 6+2 \). \( 6 \) это \( 4+2 \). Алгоритм: \( 4 \rightarrow 6 \rightarrow 8 \rightarrow 64 \rightarrow 66 \rightarrow 68 \). Это 6 команд (22122), больше 5.

Попробуем получить 68 иначе. Может быть, возведение в квадрат было последним?

Если последняя команда - возвести в квадрат, то предыдущее число должно быть \( √68 \), что не целое.

Попробуем получить 68 с помощью 5 команд.

1. \( 4 \rightarrow 6 \) (2)

2. \( 6 \rightarrow 36 \) (1)

3. \( 36 \rightarrow 38 \) (2)

4. \( 38 \rightarrow 40 \) (2)

Алгоритм 2122 = 40

1. \( 4 \rightarrow 16 \) (1)

2. \( 16 \rightarrow 18 \) (2)

3. \( 18 \rightarrow 20 \) (2)

4. \( 20 \rightarrow 22 \) (2)

Алгоритм 1222 = 22

1. \( 4 \rightarrow 6 \) (2)

2. \( 6 \rightarrow 8 \) (2)

3. \( 8 \rightarrow 64 \) (1)

4. \( 64 \rightarrow 66 \) (2)

Алгоритм 2212 = 66

Давайте попробуем получить 68.

1. \( 4 \rightarrow 6 \) (2)

2. \( 6 \rightarrow 36 \) (1)

3. \( 36 \rightarrow 38 \) (2)

4. \( 38 \rightarrow 76 \) - нет такой команды.

Рассмотрим последовательность: \( 4 \rightarrow 6 \rightarrow 36 \). Сейчас у нас 3 команды. Надо получить 68. Можно прибавить 2, получим 38. Потом ещё раз прибавить 2, получим 40. Не подходит.

А если так: \( 4 \rightarrow 6 \rightarrow 8 \rightarrow 10 \). Команды 222. Получили 10. Надо 68. Если прибавить 2, 12. Если возвести в квадрат, 100.

Попробуем другой ход:

1. \( 4 \rightarrow 4+2 = 6 \) (2)
2. \( 6 \rightarrow 6+2 = 8 \) (2)
3. \( 8 \rightarrow 8+2 = 10 \) (2)
4. \( 10 \rightarrow 10+2 = 12 \) (2)
5. \( 12 \rightarrow 12+2 = 14 \) (2)

Это 5 команд, получаем 14.

Попробуем:

1. \( 4 \rightarrow 4^2 = 16 \) (1)
2. \( 16 \rightarrow 16+2 = 18 \) (2)
3. \( 18 \rightarrow 18+2 = 20 \) (2)
4. \( 20 \rightarrow 20^2 = 400 \) (1)
5. \( 400 \rightarrow 400+2 = 402 \) (2)

Алгоритм 12212 = 402.

Давайте ещё раз попробуем получить 68.

1. \( 4 \rightarrow 6 \) (2)
2. \( 6 \rightarrow 36 \) (1)
3. \( 36 \rightarrow 38 \) (2)
4. \( 38 \rightarrow 38+2 = 40 \) (2)

Алгоритм 2122 = 40

А если так:

1. \( 4 \rightarrow 4^2 = 16 \) (1)
2. \( 16 \rightarrow 16+2 = 18 \) (2)
3. \( 18 \rightarrow 18^2 = 324 \) (1)
4. \( 324 \rightarrow 324+2 = 326 \) (2)
5. \( 326 \rightarrow 326+2 = 328 \) (2)

Алгоритм 12122 = 328.

Попробуем получить 68. Мы знаем, что \( 8^2 = 64 \). Чтобы получить 8, нужно \( 4+2+2 \). То есть, \( 4 \rightarrow 6 \rightarrow 8 \). Это команды 22. Получили 8. Далее \( 8 \rightarrow 8^2=64 \) (команда 1). Получили 64. Осталась одна команда. Прибавим 2: \( 64+2=66 \). Получили 66. Это алгоритм 2212, 4 команды. Нам нужно 68.

Если у нас 66, и мы хотим 68, то нужно прибавить 2. Алгоритм 22122. Это 5 команд. \( 4 \rightarrow 6 \rightarrow 8 \rightarrow 64 \rightarrow 66 \rightarrow 68 \). Это 5 команд.

Проверим:

1. \( 4 + 2 = 6 \) (команда 2)
2. \( 6 + 2 = 8 \) (команда 2)
3. \( 8^2 = 64 \) (команда 1)
4. \( 64 + 2 = 66 \) (команда 2)
5. \( 66 + 2 = 68 \) (команда 2)

Получили 68 за 5 команд. Алгоритм: 22122.

Ответ: 22122