u) ∫ \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}} \cdot ctg(2 + \sqrt[5]{x}) dx

Для решения данного интеграла необходимо выполнить замену переменной и упростить выражение.

Пусть $$t = 2 + \sqrt[5]{x}$$, тогда $$dt = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} dx$$, $$dx = 5x^{\frac{4}{5}} dt = 5(t - 2)^4 dt$$.

Также, $$x = (t-2)^5$$, следовательно, $$x^{\frac{4}{3}} = (t - 2)^{\frac{20}{3}}$$.

Тогда интеграл примет вид:

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}} \cdot ctg(2 + \sqrt[5]{x}) dx = \int \frac{ctg(t)}{(t-2)^{\frac{20}{3}}} 5(t-2)^4 dt = 5 \int \frac{ctg(t)}{(t-2)^{\frac{20}{3}}} (t-2)^4 dt = 5 \int (t-2)^{-\frac{8}{3}} ctg(t) dt$$

К сожалению, данный интеграл не выражается через элементарные функции.

Тем не менее, преобразуем исходный интеграл:

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}} \cdot ctg(2 + \sqrt[5]{x}) dx = \int x^{-\frac{4}{3}} ctg(2 + x^{\frac{1}{5}}) dx$$

Пусть $$u = 2 + x^{\frac{1}{5}}$$, тогда $$du = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} dx$$, и $$dx = 5 x^{\frac{4}{5}} du = 5 (u - 2)^4 du$$

Тогда интеграл примет вид:

$$\int x^{-\frac{4}{3}} ctg(2 + x^{\frac{1}{5}}) dx = \int (u - 2)^{-\frac{20}{3}} ctg(u) 5 (u - 2)^4 du = 5 \int (u - 2)^{-\frac{8}{3}} ctg(u) du$$

Получившийся интеграл по-прежнему не выражается через элементарные функции, но мы можем отметить, что его можно вычислить численными методами.

Обозначим исходный интеграл как I

$$I=5 \int (u - 2)^{-\frac{8}{3}} ctg(u) du$$

Точное выражение для первообразной найти не удается, поэтому можно оставить ответ в таком виде.

Ответ: $$5 \int (u - 2)^{-\frac{8}{3}} ctg(u) du$$