Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

Решение:

В турнире участвует 16 игроков. Турнир проводится по олимпийской системе, где проигравший выбывает. Это означает, что количество игроков уменьшается вдвое после каждого тура.

1-й тур:

• Участвуют 16 игроков.
• Игроки разбиваются на 8 пар.
• Вероятность того, что Иван и Алексей встретятся в 1-м туре, равна вероятности того, что они попадут в одну пару.
• Всего возможностей выбрать пару для Ивана - 15 (остальные игроки).
• Благоприятный исход - если Алексей окажется в паре с Иваном.
• Вероятность встречи в 1-м туре: \( P(встреча в 1 туре) = \frac{1}{15} \).

2-й тур:

• Если Иван и Алексей оба выиграют свои матчи в 1-м туре, то останется 8 игроков.
• Игроки разбиваются на 4 пары.
• Вероятность того, что они встретятся во 2-м туре, при условии, что они оба прошли в этот тур:
• Осталось 8 игроков. Вероятность попасть в одну пару из 7 возможных соперников для Ивана равна \( \frac{1}{7} \).
• Но для этого они оба должны были выиграть в первом туре. Вероятность выигрыша каждого равна 0,5.
• Вероятность того, что они оба выиграют в 1-м туре, равна \( 0,5 \times 0,5 = 0,25 \).
• Вероятность встречи во 2-м туре: \( P(встреча во 2 туре) = P(\text{оба выиграли в 1 туре}) \times P(\text{встреча во 2 туре} | \text{оба выиграли в 1 туре}) = 0,25 \times \frac{1}{7} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{28} \).

3-й тур:

• Если Иван и Алексей оба выиграют свои матчи в 2-м туре, то останется 4 игрока.
• Игроки разбиваются на 2 пары.
• Вероятность встречи в 3-м туре, при условии, что они оба прошли в этот тур:
• Осталось 4 игрока. Вероятность попасть в одну пару из 3 возможных соперников для Ивана равна \( \frac{1}{3} \).
• Вероятность того, что они оба выиграют в 1-м и 2-м турах: \( 0,5 \times 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,0625 = \frac{1}{16} \).
• Вероятность встречи в 3-м туре: \( P(встреча в 3 туре) = P(\text{оба выиграли в 1 и 2 турах}) \times P(\text{встреча в 3 туре} | \text{оба выиграли в 1 и 2 турах}) = \frac{1}{16} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{48} \).

4-й тур (финал):

• Если Иван и Алексей оба выиграют свои матчи в 3-м туре, то останется 2 игрока (финал).
• Они встретятся друг с другом.
• Вероятность того, что они оба выиграют в 1-м, 2-м и 3-м турах: \( 0,5^6 = \frac{1}{64} \).
• Вероятность встречи в 4-м туре: \( P(встреча в 4 туре}) = P(\text{оба выиграли в 1, 2, 3 турах}) \times P(\text{встреча в 4 туре} | \text{оба выиграли в 1, 2, 3 турах}) = \frac{1}{64} \times 1 = \frac{1}{64} \).

Общая вероятность встречи:

События встречи в каждом туре являются несовместными (они могут встретиться только в одном туре). Поэтому, чтобы найти общую вероятность, нужно сложить вероятности встречи в каждом туре:

\( P(\text{встреча}) = P(\text{встреча в 1 туре}) + P(\text{встреча во 2 туре}) + P(\text{встреча в 3 туре}) + P(\text{встреча в 4 туре}) \)

\( P(\text{встреча}) = \frac{1}{15} + \frac{1}{28} + \frac{1}{48} + \frac{1}{64} \)

Приведём к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15, 28, 48, 64.

\( 15 = 3 \times 5 \)

\( 28 = 2^2 \times 7 \)

\( 48 = 2^4 \times 3 \)

\( 64 = 2^6 \)

НОК = \( 2^6 \times 3 \times 5 \times 7 = 64 \times 3 \times 5 \times 7 = 192 \times 35 = 6720 \)

\( P(\text{встреча}) = \frac{6720/15}{6720} + \frac{6720/28}{6720} + \frac{6720/48}{6720} + \frac{6720/64}{6720} \)

\( 6720/15 = 448 \)

\( 6720/28 = 240 \)

\( 6720/48 = 140 \)

\( 6720/64 = 105 \)

\( P(\text{встреча}) = \frac{448 + 240 + 140 + 105}{6720} = \frac{933}{6720} \)

Сократим дробь. Сумма цифр числителя 9+3+3 = 15, делится на 3. Сумма цифр знаменателя 6+7+2+0 = 15, делится на 3.

\( \frac{933}{3} = 311 \)

\( \frac{6720}{3} = 2240 \)

\( P(\text{встреча}) = \frac{311}{2240} \)

Альтернативный подход (более простой):

Всего игроков - 16. В каждом матче участвуют 2 игрока. Всего будет сыграно \( 16 - 1 = 15 \) матчей за весь турнир (так как 15 игроков проиграют и выбудут).

Иван и Алексей встретятся, если они оба дойдут до одной и той же игры. Это может произойти в любом туре.

Рассмотрим все пары игроков. Всего таких пар \( \binom{16}{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120 \) пар.

Иван и Алексей составляют одну такую пару.

В каждом туре происходит жеребьевка. Мы хотим узнать вероятность того, что именно эта пара (Иван и Алексей) окажется в одной из играющих пар.

1-й тур: 16 игроков = 8 пар. Вероятность, что Иван и Алексей попадут в одну пару = \( \frac{1}{15} \).

2-й тур: Если они оба прошли, осталось 8 игроков = 4 пары. Вероятность, что они встретятся = \( \frac{1}{7} \).

3-й тур: Если они оба прошли, осталось 4 игрока = 2 пары. Вероятность, что они встретятся = \( \frac{1}{3} \).

4-й тур: Если они оба прошли, осталось 2 игрока = 1 пара (финал). Вероятность, что они встретятся = \( 1 \).

Теперь нам нужно учесть вероятность того, что они оба выиграют в предыдущих турах.

P(Иван и Алексей встретятся) = P(встреча в 1 туре) + P(Иван и Алексей выиграли в 1 туре И встретились во 2 туре) + P(Иван и Алексей выиграли в 1 и 2 турах И встретились в 3 туре) + P(Иван и Алексей выиграли в 1, 2, 3 турах И встретились в 4 туре)

P(Иван и Алексей встретятся) = \( \frac{1}{15} + (0,5 \times 0,5) \times \frac{1}{7} + (0,5 \times 0,5 \times 0,5 \times 0,5) \times \frac{1}{3} + (0,5^6) \times 1 \)

P(Иван и Алексей встретятся) = \( \frac{1}{15} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{7} + \frac{1}{16} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{64} \times 1 \)

P(Иван и Алексей встретятся) = \( \frac{1}{15} + \frac{1}{28} + \frac{1}{48} + \frac{1}{64} \)

Это тот же расчет, что и выше.

Еще один способ:

Рассмотрим Ивана. Он сыграет \( \textbf{15} \) матчей, если дойдет до конца турнира, или пока не встретится с Алексеем.

Всего исходов для Ивана и Алексея в любом матче - 2 (победа/поражение), но нас интересует именно их встреча.

Рассмотрим всех игроков. Всего \( 16 \) игроков. В турнире \( 16 - 1 = 15 \) матчей будет сыграно до выявления победителя.

Вероятность того, что Иван и Алексей окажутся в одной паре в любом туре. Всего существует \( \binom{16}{2} = 120 \) пар игроков.

В каждом туре происходит разбивка на пары.

1-й тур: 8 пар. Вероятность, что Иван и Алексей окажутся в одной паре = \( \frac{8}{120} = \frac{1}{15} \).

2-й тур: Если они оба прошли, осталось 8 игроков. \( \binom{8}{2} = 28 \) пар. В этом туре будет 4 пары. Вероятность, что они встретятся = \( \frac{4}{28} = \frac{1}{7} \).

3-й тур: Если они оба прошли, осталось 4 игрока. \( \binom{4}{2} = 6 \) пар. В этом туре будет 2 пары. Вероятность, что они встретятся = \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

4-й тур: Если они оба прошли, осталось 2 игрока. \( \binom{2}{2} = 1 \) пара. В этом туре будет 1 пара. Вероятность, что они встретятся = \( \frac{1}{1} = 1 \).

Теперь нужно учесть, что они оба должны выиграть, чтобы дойти до следующего тура.

P(встреча) = P(встреча в 1 туре) + P(выиграли в 1 туре) * P(встреча во 2 туре | выиграли в 1) + P(выиграли в 1 и 2 турах) * P(встреча в 3 туре | выиграли в 1 и 2) + P(выиграли в 1, 2, 3 турах) * P(встреча в 4 туре | выиграли в 1, 2, 3)

P(встреча) = \( \frac{1}{15} + (0,5 \times 0,5) \times \frac{1}{7} + (0,5 \times 0,5 \times 0,5 \times 0,5) \times \frac{1}{3} + (0,5^6) \times 1 \)

P(встреча) = \( \frac{1}{15} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{7} + \frac{1}{16} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{64} \)

P(встреча) = \( \frac{1}{15} + \frac{1}{28} + \frac{1}{48} + \frac{1}{64} \)

\( = \frac{448 + 240 + 140 + 105}{6720} = \frac{933}{6720} = \frac{311}{2240} \)

Рассмотрим с другой стороны:

Всего 16 игроков. Вероятность того, что Иван и Алексей встретятся друг с другом, равна вероятности того, что из всех \( \binom{16}{2} = 120 \) возможных пар, именно они окажутся в одной паре в какой-то момент турнира.

В первом туре 8 пар. Вероятность их встречи \( \frac{1}{15} \).

Если они не встретились в первом туре, значит, они оказались в разных парах. Всего существует \( 15 \) вариантов для соперника Ивана, и \( 15 \) вариантов для соперника Алексея. Вероятность, что они не встретились в первом туре, равна \( 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15} \).

В турнире с \( n \) игроками, где \( n \) - степень двойки, вероятность того, что два конкретных игрока встретятся, равна \( \frac{1}{n-1} \).

В нашем случае \( n=16 \). Поэтому вероятность их встречи равна \( \frac{1}{16-1} = \frac{1}{15} \).

Почему это так?

Представим, что все 16 игроков сидят в ряд. Мы случайным образом разбиваем их на пары. Всего \( 15 \) возможных соперников для Ивана. Один из них - Алексей. Следовательно, вероятность, что Алексей окажется в паре с Иваном, равна \( \frac{1}{15} \).

Далее, если они не встретились в первом туре, они оба должны выиграть. Вероятность этого \( 0,5 \times 0,5 = 0,25 \). Тогда останется 8 игроков.

Теперь вероятность их встречи равна \( \frac{1}{7} \).

Таким образом, вероятность встречи во втором туре = \( \frac{14}{15} \times 0,25 \times \frac{1}{7} = \frac{14}{15} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{7} = \frac{2}{15} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{30} \). Этот подход не совсем верен, так как он не учитывает все возможные пути.

Самый простой и правильный подход:

Вероятность того, что два конкретных игрока встретятся в турнире на выбывание с \( n \) участниками (где \( n \) - степень двойки), равна \( \frac{1}{n-1} \).

В данном случае \( n=16 \). Поэтому вероятность того, что Иван и Алексей встретятся, равна \( \frac{1}{16-1} = \frac{1}{15} \).

Объяснение:

В турнире всего \( 16 \) участников. На первом этапе формируются \( 16/2 = 8 \) пар. Рассмотрим Ивана. У него \( 15 \) потенциальных соперников. Один из этих соперников - Алексей. Вероятность того, что Алексей будет соперником Ивана в первой игре, равна \( \frac{1}{15} \).

Если они не встретились в первом туре, то один из них (или оба) проиграл, либо они оба выиграли и прошли дальше.

Но нас интересует вероятность того, что они встретятся *когда-либо* в турнире. Все участники в начале равны. Жребий определяет пары.

Рассмотрим