13. Tum 13. № 107 а) Решите уравнение sin2x+5cosx = 0. 6) Найдите корня этого уравнения, принадлежащие промежутку принадлежащие промежутку (10:4

а) Решим уравнение \(\sin 2x + 5 \cos x = 0\).

Используем формулу двойного угла \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\). Тогда уравнение примет вид:

\[2 \sin x \cos x + 5 \cos x = 0\]

Вынесем \(\cos x\) за скобки:

\[\cos x (2 \sin x + 5) = 0\]

Получаем два случая:

1. \(\cos x = 0\)

Решение этого уравнения: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

2. \(2 \sin x + 5 = 0\)

\(\sin x = -\frac{5}{2}\)

Так как \(|\sin x| \le 1\), то это уравнение не имеет решений.

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку \(\[\frac{10\pi}{3}; 4\pi\]\).

Рассмотрим решение \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\).

Подставим различные значения \(n\), чтобы найти корни в заданном интервале.

• \(n = 1\): \(x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71\). Это значение не принадлежит промежутку \(\[\frac{10\pi}{3}; 4\pi\]\).
• \(n = 2\): \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85\). Это значение принадлежит промежутку \(\[\frac{10\pi}{3}; 4\pi\]\).
• \(n = 3\): \(x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} \approx 10.99\). Это значение не принадлежит промежутку \(\[\frac{10\pi}{3}; 4\pi\]\).

Таким образом, только \(x = \frac{5\pi}{2}\) принадлежит заданному промежутку.

Ответ: а) \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(x = \frac{5\pi}{2}\)