Цифровое Домашнее Задание. Задание 1. Найдите значение выражения (2,5)⁻³ ⋅ (√5/2)⁻².

Решение:

Для вычисления значения выражения \( (2,5)^{-3} \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{-2} \) преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и упростим степени.

1. Представим \( 2,5 \) как обыкновенную дробь: \( 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \).


2. Подставим эту дробь в выражение: \( \left(\frac{5}{2}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{-2} \).


3. Вспомним свойство степени \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) и \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \). Применим это свойство ко второму множителю: \( \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2} \).


4. Возведём в квадрат: \( \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2} = \frac{2^2}{(\sqrt{5})^2} = \frac{4}{5} \).


5. Теперь выражение выглядит так: \( \left(\frac{5}{2}\right)^{-3} \cdot \frac{4}{5} \).


6. Применим свойство отрицательной степени к первому множителю: \( \left(\frac{5}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{5}\right)^{3} \).


7. Возведём в куб: \( \left(\frac{2}{5}\right)^{3} = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125} \).


8. Теперь перемножим полученные значения: \( \frac{8}{125} \cdot \frac{4}{5} \).


9. Выполним умножение дробей: \( \frac{8 \cdot 4}{125 \cdot 5} = \frac{32}{625} \).

Ответ: \( \frac{32}{625} \).