Цепь массой 10 кг и длиной 10 м свисает в колодец, цепь наматывают на бревно. а) Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью намотать цепь на бревно?

Решение:

Для решения этой задачи будем считать, что бревно находится на уровне верхнего края колодца. Работа совершается для подъёма всей массы цепи наверх. Так как цепь имеет длину 10 м и массу 10 кг, то линейная плотность цепи равна \( \rho = \frac{m}{L} = \frac{10 \text{ кг}}{10 \text{ м}} = 1 \text{ кг/м} \). При наматывании цепи на бревно, каждый её элемент поднимается на разную высоту. Чтобы найти минимальную работу, нужно рассчитать изменение потенциальной энергии цепи.

1. Найдём работу по подъёму всей цепи:
   Когда цепь полностью намотана, её центр масс находится на высоте \( \frac{L}{2} = \frac{10 \text{ м}}{2} = 5 \text{ м} \) от верхнего края колодца. Следовательно, вся цепь поднимается на эту высоту.
   Работа равна изменению потенциальной энергии: \( A = mg h \), где \( h \) — высота подъёма центра масс.
   \( A = 10 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5 \text{ м} = 490 \text{ Дж} \)

Ответ: 490 Дж.