Центральная предельная теорема ... гласит, если последовательность попарно независимых случайных величин X₁, X₂, ..., Xₙ, ..., удовлетворяет условию: $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} M[X_k - M(X_k)]^3}{\left(\sum_{k=1}^{n} D(X_k)\right)^{3/2}} = 0.$$ TO $$\lim_{n \to \infty} P\left(a < \frac{\sum_{k=1}^{n} X_k - \sum_{k=1}^{n} M(X_k)}{\sqrt{\sum_{k=1}^{n} D(X_k)}} < b\right) = \Phi(b) - \Phi(a).$$ где Ф(x) – функция Лапласа

Центральная предельная теорема (ЦПТ) является одной из фундаментальных теорем в теории вероятностей. В представленном виде, она формулируется для последовательности попарно независимых случайных величин. Теорема утверждает, что при выполнении определенных условий, распределение суммы этих случайных величин будет приближаться к нормальному распределению, независимо от исходного распределения каждой отдельной случайной величины.

Первая формула, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} M[X_k - M(X_k)]^3}{\left(\sum_{k=1}^{n} D(X_k)\right)^{3/2}} = 0.$$, представляет собой условие Ляпунова. Здесь:

• $$X_k$$ - случайные величины;
• $$M[X_k - M(X_k)]^3$$ - третий центральный момент случайной величины $$X_k$$, характеризующий асимметрию распределения;
• $$D(X_k)$$ - дисперсия случайной величины $$X_k$$;
• Условие Ляпунова гарантирует, что ни одна из случайных величин не доминирует над остальными.

Вторая формула, $$\lim_{n \to \infty} P\left(a < \frac{\sum_{k=1}^{n} X_k - \sum_{k=1}^{n} M(X_k)}{\sqrt{\sum_{k=1}^{n} D(X_k)}} < b\right) = \Phi(b) - \Phi(a).$$, показывает, что при выполнении условия Ляпунова, распределение нормированной суммы случайных величин приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Здесь:

• $$P(a < Z < b)$$ - вероятность того, что нормированная сумма лежит в интервале от $$a$$ до $$b$$;
• $$\Phi(x)$$ - функция Лапласа, которая является функцией распределения стандартного нормального распределения.

Таким образом, ЦПТ устанавливает связь между суммой большого числа случайных величин и нормальным распределением, что делает её мощным инструментом в статистике и теории вероятностей.