Центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD, лежит на стороне AD. По данным на рисунках 134, а), б) найдите: а) ∠CAD; б) ∠BCD.

Решение:

а) Находим $$\angle CAD$$

По условию, центр окружности лежит на стороне AD. Это означает, что AD является диаметром окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусов. Следовательно, $$\angle ACD = 90^°$$.

В четырехугольнике ABCD, у которого центр описанной окружности лежит на стороне AD, противоположные углы в сумме дают 180 градусов. Это значит, что ABCD — вписанный четырехугольник.

Из рисунка видно, что $$\angle ABC = 121^°$$.

Так как ABCD — вписанный четырехугольник, то сумма противоположных углов равна 180°:

$$\angle ABC + \angle ADC = 180^°$$

$$121^° + \angle ADC = 180^°$$

$$\angle ADC = 180^° - 121^° = 59^°$$

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем, что $$\angle ACD = 90^°$$ и $$\angle ADC = 59^°$$. Сумма углов в треугольнике равна 180°:

$$\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^°$$

$$\angle CAD + 59^° + 90^° = 180^°$$

$$\angle CAD + 149^° = 180^°$$

$$\angle CAD = 180^° - 149^° = 31^°$$

б) Находим $$\angle BCD$$

Так как ABCD — вписанный четырехугольник, сумма противоположных углов равна 180°:

$$\angle BAD + \angle BCD = 180^°$$

Мы знаем $$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$$. Нам нужно найти $$\angle BAC$$.

Углы $$\angle BAC$$ и $$\angle BDC$$ опираются на одну дугу BC, поэтому они равны.

В треугольнике BCD, $$\angle CBD = ?$$, $$\angle BDC = ?$$, $$\angle BCD = ?$$.

Из рисунка видно, что $$\angle CDB = 25^°$$.

Так как углы $$\angle CDB$$ и $$\angle CAB$$ опираются на одну дугу CB, то $$\angle CAB = \angle CDB = 25^°$$.

Теперь мы можем найти $$\angle BAD$$:

$$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 25^° + 31^° = 56^°$$

Теперь найдем $$\angle BCD$$:

$$\angle BAD + \angle BCD = 180^°$$

$$56^° + \angle BCD = 180^°$$

$$\angle BCD = 180^° - 56^° = 124^°$$

Ответ: а) $$\angle CAD = 31^°$$; б) $$\angle BCD = 124^°$$