Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

Решение:

Обозначим начальное количество яблок у мальчиков как \( x \), \( y \) и \( z \).

1. Первый мальчик отдает яблоки. У него становится \( x - (y+z) \), у второго \( y + y = 2y \), у третьего \( z + z = 2z \).
2. Второй мальчик отдает яблоки. У него становится \( 2y - (x - (y+z) + 2z) \). У первого \( (x - (y+z)) + (x - (y+z)) = 2(x - y - z) \). У третьего \( 2z + 2z = 4z \).
3. Третий мальчик отдает яблоки. У него становится \( 4z - (2(x - y - z) + 2(x - y - z)) \). У первого \( 2(x - y - z) + 2(x - y - z) = 4(x - y - z) \). У второго \( 2y - (x - (y+z) + 2z) + (2y - (x - (y+z) + 2z)) = 2(2y - x - z) \).
4. В конце у каждого оказывается по 8 яблок.

Упростим задачу, двигаясь с конца:

Пусть у мальчиков было \( a \), \( b \) и \( c \) яблок перед тем, как третий мальчик дал им яблоки. Третий дал каждому столько, сколько у них было. Значит, после этого у них стало \( 2a \), \( 2b \) и \( 2c \). Это равно 8 яблокам. Значит, перед действием третьего мальчика у них было по \( 8/2 = 4 \) яблока. То есть \( a=4, b=4, c=4 \).

Теперь вернемся к моменту перед действием второго мальчика. У него было \( b \) яблок, а у первого и третьего — \( a' \) и \( c' \) соответственно. Второй отдал каждому по \( b \) яблок. В результате стало \( a' + b \), \( b - (a'+c') \) и \( c' + b \). Мы знаем, что после этого у них стало по 4 яблока. Значит:

• \( a' + b = 4 \)
• \( b - (a'+c') = 4 \)
• \( c' + b = 4 \)

Из первых и третьих уравнений следует, что \( a' = c' \). Подставляем во второе: \( b - (a' + a') = 4 \) → \( b - 2a' = 4 \).

Также, из \( a' + b = 4 \) следует, что \( b = 4 - a' \). Подставляем в \( b - 2a' = 4 \): \( (4 - a') - 2a' = 4 \) → \( 4 - 3a' = 4 \) → \( 3a' = 0 \) → \( a' = 0 \).

Тогда \( b = 4 - 0 = 4 \). И \( c' = 0 \).

Итак, перед действием второго мальчика было: первый — 0 яблок, второй — 4 яблока, третий — 0 яблок.

Теперь вернемся к самому началу, перед действием первого мальчика. У него было \( x \) яблок, у второго \( y \), у третьего \( z \). Первый отдал каждому по \( x \) яблок (так как у второго было \( y \) и у третьего \( z \), но это ошибка в условии. Правильно: первый отдает каждому столько, сколько у них есть). В условии сказано: "Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет." Это значит, что первый дает второму \( y \) яблок, а третьему \( z \) яблок. У первого остается \( x - y - z \). У второго становится \( y + y = 2y \). У третьего становится \( z + z = 2z \).

Это соответствует тому, что мы получили выше: \( 2y = 4 \), \( 2z = 4 \), и \( x - y - z \) = 0.

Из \( 2y = 4 \) → \( y = 2 \).

Из \( 2z = 4 \) → \( z = 2 \).

Подставляем в \( x - y - z = 0 \): \( x - 2 - 2 = 0 \) → \( x = 4 \).

Проверка:

• Начало: 4, 2, 2.
• 1-й дает: 4-2-2=0; 2+2=4; 2+2=4. Стало: 0, 4, 4.
• 2-й дает: 4-(0+4)=0; 0+0=0; 4+4=8. Стало: 0, 0, 8.

Это не совпадает с 8, 8, 8. Давайте переформулируем условие: \( X_1, X_2, X_3 \) - начальное кол-во. Первый дает второму \( X_2 \) и третьему \( X_3 \). Стало: \( X_1 - X_2 - X_3 \), \( 2X_2 \), \( 2X_3 \).

Второе дает первому \( X_1 - X_2 - X_3 \) и третьему \( 2X_3 \). Стало: \( 2(X_1 - X_2 - X_3) \), \( 2X_2 - (X_1 - X_2 - X_3) - 2X_3 \), \( 2X_3 + 2X_3 = 4X_3 \).

Третий дает первому \( 2(X_1 - X_2 - X_3) \) и второму \( 2X_2 - X_1 + X_2 - X_3 \). Стало: \( 4(X_1 - X_2 - X_3) \), \( 2(2X_2 - X_1 + X_2 - X_3) \), \( 4X_3 - 2(X_1 - X_2 - X_3) - 2(2X_2 - X_1 + X_2 - X_3) \).

Это слишком сложно. Решим обратным ходом:

1. После 3-го действия: у каждого по 8 яблок.
2. Перед 3-м действием: Третий мальчик дал каждому столько, сколько у них было. Пусть перед этим у них было \( a, b, c \). Третий дал \( a \) первому, \( b \) второму. Тогда стало \( 2a \), \( 2b \), \( c - a - b \). По условию, \( 2a = 8 \), \( 2b = 8 \). Значит, \( a=4 \), \( b=4 \). Третий мальчик дал \( 4 \) первому и \( 4 \) второму. И у него стало 8. Это значит, что до этого у него было \( 8 - 4 - 4 = 0 \). То есть \( c=0 \). Перед 3-м действием было: 4, 4, 0.
3. Перед 2-м действием: Второй мальчик дал первому \( a' \) и третьему \( c' \) яблок. Пусть перед этим было \( a', b', c' \). Второй дал \( a' \) первому, \( c' \) третьему. Тогда стало \( a' + a' = 2a' \), \( b' - a' - c' \), \( c' + c' = 2c' \). Мы знаем, что после этого стало: 4, 4, 0.
• \( 2a' = 4 \) → \( a' = 2 \)
• \( 2c' = 0 \) → \( c' = 0 \)
• \( b' - a' - c' = 4 \) → \( b' - 2 - 0 = 4 \) → \( b' = 6 \)

Перед 2-м действием было: 2, 6, 0.

Перед 1-м действием: Первый мальчик дал второму \( y \) и третьему \( z \) яблок. Пусть перед этим было \( x, y, z \). Первый дал \( y \) второму, \( z \) третьему. Тогда стало \( x - y - z \), \( y + y = 2y \), \( z + z = 2z \). Мы знаем, что после этого стало: 2, 6, 0.

• \( 2y = 6 \) → \( y = 3 \)
• \( 2z = 0 \) → \( z = 0 \)
• \( x - y - z = 2 \) → \( x - 3 - 0 = 2 \) → \( x = 5 \)

Начальное количество яблок: у первого 5, у второго 3, у третьего 0.

Проверка:

• Начало: 5, 3, 0
• 1-й дает: 5-3-0=2; 3+3=6; 0+0=0. Стало: 2, 6, 0.
• 2-й дает: 6-(2+0)=4; 2+2=4; 0+0=0. Стало: 4, 4, 0.
• 3-й дает: 4-(4+0)=0; 4+4=8; 0+0=0. Стало: 0, 8, 0.

В условии сказано: "Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет." Это значит, что первый отдал второму \( y \) яблок, и третьему \( z \) яблок. У первого стало \( x - y - z \). У второго \( y+y \). У третьего \( z+z \).

Давайте переформулируем задачу для обратного хода:

Пусть \( a_3, b_3, c_3 \) - количество яблок после 3-го мальчика. \( a_3=8, b_3=8, c_3=8 \).

Перед 3-м мальчиком: \( a_2, b_2, c_2 \). Третий дал первому \( a_2 \) и второму \( b_2 \). Стало: \( 2a_2, 2b_2, c_2 - a_2 - b_2 \).

\( 2a_2 = 8 \rightarrow a_2 = 4 \)

\( 2b_2 = 8 \rightarrow b_2 = 4 \)

\( c_2 - a_2 - b_2 = 8 \) → \( c_2 - 4 - 4 = 8 \) → \( c_2 = 16 \).

Перед 3-м действием было: 4, 4, 16.

Перед 2-м мальчиком: \( a_1, b_1, c_1 \). Второй дал первому \( a_1 \) и третьему \( c_1 \). Стало: \( 2a_1, b_1 - a_1 - c_1, 2c_1 \).

\( 2a_1 = 4 \rightarrow a_1 = 2 \)

\( 2c_1 = 16 \rightarrow c_1 = 8 \)

\( b_1 - a_1 - c_1 = 4 \) → \( b_1 - 2 - 8 = 4 \) → \( b_1 = 14 \).

Перед 2-м действием было: 2, 14, 8.

Перед 1-м мальчиком: \( a_0, b_0, c_0 \). Первый дал второму \( b_0 \) и третьему \( c_0 \). Стало: \( a_0 - b_0 - c_0, 2b_0, 2c_0 \).

\( 2b_0 = 14 \rightarrow b_0 = 7 \)

\( 2c_0 = 8 \rightarrow c_0 = 4 \)

\( a_0 - b_0 - c_0 = 2 \) → \( a_0 - 7 - 4 = 2 \) → \( a_0 = 13 \).

Начальное количество яблок: у первого 13, у второго 7, у третьего 4.

Проверка:

• Начало: 13, 7, 4.
• 1-й дает: 13 - 7 - 4 = 2. Стало: 2, 7+7=14, 4+4=8. (2, 14, 8).
• 2-й дает: 14 - 2 - 8 = 4. Стало: 2+2=4, 4, 8+8=16. (4, 4, 16).
• 3-й дает: 16 - 4 - 4 = 8. Стало: 4+4=8, 4+4=8, 8. (8, 8, 8).

Все сходится.

Ответ: У первого мальчика было 13 яблок, у второго — 7 яблок, у третьего — 4 яблока.