1. Три угла выпуклого четырёхугольника равны 60°, 80° и 100°. Найдите четвёртый угол этого четырёхугольника. 2. Углы выпуклого четырёхугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их. 3. Сумма углов выпуклого многоугольника равна 900°. Сколько у него сторон? 4. Найдите угол правильного: а) восьмиугольника; б) десяти- угольника; в) двенадцатиугольника. 5. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внешних углов равен: а) 36°; б) 24°? 6. В четырёхугольнике ABCD AB = AD, BC = CD, ∠A = 60°, ∠B = 105°. Найдите угол С. 7. Противолежащие углы А и С, Ви Д выпуклого четырёх- угольника АВСD попарно равны. Докажите, что противо- лежащие стороны этого четырёхугольника параллельны. 8. Для правильного пятиугольника ABCDE (рис. 29.5) най- дите угол между диагоналями: а) АС и АD; б) АС и ВЕ.

Решим задачи по геометрии. Поехали!

1. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, четвертый угол равен:

   360° - (60° + 80° + 100°) = 360° - 240° = 120°

   Ответ: 120°

2. Пусть углы четырехугольника равны x, 2x, 3x и 4x. Тогда:

   x + 2x + 3x + 4x = 360°

   10x = 360°

   x = 36°

   Углы четырехугольника: 36°, 72°, 108° и 144°.

   Ответ: 36°, 72°, 108°, 144°

3. Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) * 180°. Следовательно:

   (n - 2) * 180° = 900°

   n - 2 = 5

   n = 7

   Ответ: 7 сторон

4. Угол правильного n-угольника равен ((n - 2) * 180°) / n.

   • Восьмиугольник: ((8 - 2) * 180°) / 8 = (6 * 180°) / 8 = 135°
   • Десятиугольник: ((10 - 2) * 180°) / 10 = (8 * 180°) / 10 = 144°
   • Двенадцатиугольник: ((12 - 2) * 180°) / 12 = (10 * 180°) / 12 = 150°

   Ответ: а) 135°, б) 144°, в) 150°

5. Внешний угол правильного n-угольника равен 360° / n.

   • 36°: 360° / 36° = 10 сторон
   • 24°: 360° / 24° = 15 сторон

   Ответ: а) 10 сторон, б) 15 сторон

6. В четырехугольнике ABCD AB = AD, BC = CD, ∠A = 60°, ∠B = 105°. Найдите угол С.

   Сумма углов в четырехугольнике 360°. Пусть ∠C = x. Тогда ∠D = 360° - 60° - 105° - x = 195° - x.

   Т.к. AB = AD, то треугольник ABD равнобедренный, и углы при основании BD равны. ∠ABD = ∠ADB = (180° - 60°)/2 = 60°. Значит, треугольник ABD равносторонний.

   Т.к. BC = CD, то треугольник BCD равнобедренный, и углы при основании BD равны. ∠CBD = ∠CDB = (180° - x)/2.

   ∠B = ∠ABD + ∠CBD = 60° + (180° - x)/2 = 105°

   (180° - x)/2 = 45°

   180° - x = 90°

   x = 90°

   Ответ: ∠C = 90°

7. Если противолежащие углы четырехугольника ABCD попарно равны, то это параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны.

   Доказано

8. Для правильного пятиугольника ABCDE:

   • Угол между AC и AD: 36°
   • Угол между AC и BE: 72°

   Ответ: а) 36°, б) 72°

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил формулы для углов многоугольников и выполнил арифметические расчеты.

Читерский прием: Запомни основные формулы для углов многоугольников, чтобы быстро решать задачи на контрольных и экзаменах!