Три угла вписанного четырехугольника (в последовательном порядке) относятся как 1:4:5. Определить углы четырехугольника.

Пусть углы четырехугольника равны $$x$$, $$4x$$, $$5x$$ и $$y$$. Вписанный четырехугольник обладает свойством, что сумма противоположных углов равна 180 градусов. Следовательно, $$x + 5x = 180^\circ$$ и $$4x + y = 180^\circ$$.

Из первого уравнения находим $$6x = 180^\circ$$, откуда $$x = 30^\circ$$. Тогда углы равны $$30^\circ$$, $$4 \times 30^\circ = 120^\circ$$, $$5 \times 30^\circ = 150^\circ$$.

Из второго уравнения находим $$y = 180^\circ - 4x = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$. Углы четырехугольника: $$30^\circ$$, $$120^\circ$$, $$150^\circ$$, $$60^\circ$$.