Три экскаватора различной мощности могут вырыть котлован, работая отдельно: первый – за 10 дней, второй – за 12 дней, а третий – за 15 дней. За сколько времени они могут вырыть котлован, работая совместно?

Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно выяснить, за какое время три экскаватора, работая вместе, выроют котлован.

Сначала определим, какую часть котлована каждый экскаватор вырывает за один день:

• Первый экскаватор: \(\frac{1}{10}\) часть котлована в день.
• Второй экскаватор: \(\frac{1}{12}\) часть котлована в день.
• Третий экскаватор: \(\frac{1}{15}\) часть котлована в день.

Теперь сложим эти дроби, чтобы узнать, какую часть котлована все три экскаватора вырывают вместе за один день:

\[ \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} \]

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 60:

\[ \frac{1}{10} = \frac{6}{60}, \quad \frac{1}{12} = \frac{5}{60}, \quad \frac{1}{15} = \frac{4}{60} \]

Сложим полученные дроби:

\[ \frac{6}{60} + \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{6+5+4}{60} = \frac{15}{60} \]

Сократим дробь \(\frac{15}{60}\):

\[ \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \]

Итак, вместе три экскаватора вырывают \(\frac{1}{4}\) часть котлована за один день. Чтобы узнать, за сколько дней они выроют весь котлован, нужно найти обратное значение этой дроби:

\[ \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \]

Ответ: 4 дня

Отлично, ты хорошо справился с задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!