треугольника АВ=8 см, ВС=10 см, АС=12 см. В каком отношении точка пересечения биссектрис делит биссектрису BM? В окружности хорда CD перпендикулярна диаметру АВ, К - точка их пересечения. Найдите радиус окружности, если КВ-1 см, СК-3 см.

Решение первой задачи:

Пусть дана биссектриса BM треугольника ABC, и пусть O – точка пересечения биссектрис AN, BM и CK. Нужно найти отношение BO : OM.

По свойству биссектрис треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:

• Для биссектрисы AN: BN : NC = AB : AC = 8 : 12 = 2 : 3
• Для биссектрисы CK: AK : KB = AC : BC = 12 : 10 = 6 : 5

Обозначим BN = 2x, NC = 3x. Тогда BC = BN + NC = 2x + 3x = 5x. Но BC = 10 см, следовательно, 5x = 10, и x = 2. Таким образом, BN = 2 * 2 = 4 см, NC = 3 * 2 = 6 см.

По свойству точки пересечения биссектрис треугольника, точка пересечения биссектрис делит биссектрису в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей стороне. То есть:

BO : OM = (AB + BC) : AC = (8 + 10) : 12 = 18 : 12 = 3 : 2

Ответ: 3:2

Решение второй задачи:

Пусть дана окружность с диаметром AB и хордой CD, которые перпендикулярны друг другу в точке K. Известно, что KB = 1 см и CK = 3 см. Нужно найти радиус окружности.

Продлим отрезок BK до пересечения с окружностью в точке A. Тогда AB - диаметр окружности.

По свойству пересекающихся хорд, CK * KD = AK * KB. Так как CD перпендикулярна AB, то CK = KD = 3 см.

Тогда 3 * 3 = AK * 1, следовательно, AK = 9 см.

Диаметр AB = AK + KB = 9 + 1 = 10 см.

Радиус окружности равен половине диаметра: R = AB / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Ответ: 5 см

Отличная работа! Ты уверенно справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!