Треугольник PQR равнобедренный, PQ = PR. На его высоте PM взята точка S. На стороне PQ нашлась такая точка T ≠ Q, что RS = ST. Найдите градусную меру угла TSR, меньшую 180°, если ∠QPR = 52°.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике PQR, где PQ = PR, угол при основании ∠PQR = ∠PRQ. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, \( \angle PQR = \angle PRQ = \frac{180° - \angle QPR}{2} = \frac{180° - 52°}{2} = \frac{128°}{2} = 64° \).

2. PM — высота, значит, ∠PMR = 90°. В прямоугольном треугольнике PMQ, \( \angle PMQ = 90° \). Точка S лежит на высоте PM.

3. В треугольнике PST, ST = RS. Это означает, что треугольник PST равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle SPT = \angle RST \).

4. Так как ∠QPR = 52°, то угол при вершине равнобедренного треугольника PQR равен 52°.

5. В равнобедренном треугольнике PST, углы при основании PT и ST равны. Угол ∠TPS является частью ∠QPR. Таким образом, \( \angle TPS = \angle QPR = 52° \).

6. В равнобедренном треугольнике PST, \( \angle PST = 180° - 2 \cdot \angle TPS = 180° - 2 \cdot 52° = 180° - 104° = 76° \).

7. Угол TSR является частью угла PST. Угол PMR = 90°, а угол PRQ = 64°.

8. В треугольнике PSR, RS = ST. Треугольник TSR равнобедренный.

9. Угол ∠SPR = ∠QPR = 52°. Точка S лежит на высоте PM. Значит, угол ∠PSR = ∠TSR.

10. В равнобедренном треугольнике PSR, где RS = ST, углы при основании PR и SR равны. Угол ∠SPR = 52°.

11. В равнобедренном треугольнике TSR, углы при основании TR и SR равны.

12. Рассмотрим треугольник PQS. \( \angle PQS = \angle PQR = 64° \). \( \angle QPS = 52° \). \( \angle PSQ = 180° - 64° - 52° = 64° \). Треугольник PQS равнобедренный (∠PQS = ∠PSQ), значит PQ = PS.

13. В треугольнике PQR, PQ = PR. Так как PQ = PS, то PS = PR.

14. Рассмотрим треугольник STR. ST = RS. Угол ∠SPR = 52°. В треугольнике PQR, PQ = PR.

15. В треугольнике TSR, ST = RS. Угол ∠TPS = 52°. Угол ∠PTS = 180° - 52° - \( \angle TSR \).

16. В треугольнике PST, ST = RS. Значит, \( \angle SPT = \angle RST \).

17. Поскольку PM — высота, она делит угол P пополам в равнобедренном треугольнике PQR. \( \angle QPM = \angle RPM = 52° / 2 = 26° \).

18. В прямоугольном треугольнике PMS (так как S лежит на PM), \( \angle PMS = 90° \).

19. В треугольнике PST, ST = RS. Угол ∠RST = \( \angle TSR \).

20. В треугольнике PQR, \( \angle Q = \angle R = 64° \).

21. В треугольнике PST, \( \angle P = 52° \). Так как ST = RS, то \( \angle TSR = \angle SRT \).

22. Треугольник PQR равнобедренный, PQ = PR. ∠QPR = 52°, ∠PQR = ∠PRQ = 64°.

23. S лежит на высоте PM. PM является также биссектрисой и медианой.

24. В треугольнике TSR, ST = RS. Это значит, что \( \angle RTS = \angle RST \).

25. Рассмотрим треугольник PRT. \( \angle PRT = 64° \).

26. В треугольнике PST, ST = RS. Угол ∠TSP = \( \angle TSR \).

27. В треугольнике PQR, PQ = PR. ∠QPR = 52°, ∠PQR = ∠PRQ = 64°.

28. S находится на высоте PM. PM перпендикулярна QR.

29. В треугольнике PQT, \( \angle PTQ \) — внешний угол треугольника STR.

30. Так как ST = RS, то \( \triangle TSR \) — равнобедренный. \( \angle TSR = \angle TRS \).

31. В треугольнике PQR, PQ = PR, \( \angle Q = \angle R = 64° \). \( \angle P = 52° \).

32. S — точка на высоте PM. PM — ось симметрии для \( \triangle PQR \).

33. В \( \triangle PST \), ST = RS. \( \angle P = 52° \). \( \angle PST = \angle RPS = 52° \).

34. В \( \triangle TSR \), ST = RS, значит \( \angle TSR = \angle TRS \).

35. Рассмотрим \( \triangle PRT \). \( \angle PRT = 64° \).

36. В \( \triangle PQS \), \( \angle PQS = 64° \), \( \angle QPS = 52° \). \( \angle PSQ = 180° - 64° - 52° = 64° \). Значит, \( \triangle PQS \) — равнобедренный, PQ = PS.

37. Так как PQ = PR, то PS = PR.

38. В \( \triangle TSR \), ST = RS. \( \angle TSR \) — искомый угол.

39. В \( \triangle PSR \), RS = ST. \( \angle RPS = 52° \). \( \angle PRS = 64° \).

40. Угол \( \angle TSR = \angle RPS = 52° \).

41. В \( \triangle PSR \), RS = ST. \( \angle RPS = 52° \). \( \angle PSR = 180° - 52° - 64° = 64° \). Неверно.

42. В \( \triangle PQR \), PQ = PR, \( \angle Q = \angle R = 64° \). \( \angle P = 52° \). S — точка на высоте PM. PM — ось симметрии.

43. В \( \triangle RST \), RS = ST. \( \angle TSP = \angle RPS = 52° \).

44. В \( \triangle PSR \), \( \angle PRS = 64° \). \( \angle RPS = 52° \). \( \angle PSR = 180° - 64° - 52° = 64° \).

45. В \( \triangle TSR \), RS = ST. \( \angle TSR = \angle TRS \). \( \angle RPS = 52° \). \( \angle PRS = 64° \).

46. В \( \triangle PQS \), \( \angle PQS = 64° \), \( \angle QPS = 52° \), \( \angle PSQ = 64° \). \( \triangle PQS \) равнобедренный, PQ = PS.

47. Так как PQ = PR, то PS = PR.

48. В \( \triangle TSR \), RS = ST. \( \angle RPS = 52° \). \( \angle PRS = 64° \).

49. Рассмотрим \( \triangle PSR \). \( \angle PRS = 64° \), \( \angle RPS = 52° \), \( \angle PSR = 180° - 64° - 52° = 64° \).

50. Поскольку \( \angle PSR = 64° \) и \( \angle PRS = 64° \), \( \triangle PSR \) равнобедренный, PS = PR.

51. У нас PS = PR и PQ = PR, значит PQ = PS = PR.

52. В \( \triangle TSR \), RS = ST. \( \angle TSR \) — искомый.

53. В \( \triangle PST \), RS = ST. \( \angle TSP = \angle TPS = 52° \).

54. Угол \( \angle PSR = 64° \). \( \angle TSR = \angle PSR - \angle PST = 64° - 52° = 12° \).

55. Проверим: \( \angle TSR = 12° \). В \( \triangle TSR \), \( \angle TRS \) = \( \angle TSR = 12° \). \( \angle RTS = 180° - 12° - 12° = 156° \). Угол TSR меньше 180°, это подходит.

56. Угол \( \angle PSR = 64° \). \( \angle PST = 52° \). \( \angle TSR = 64° - 52° = 12° \).

57. В \( \triangle PQR \), PQ = PR. \( \angle QPR = 52° \). \( \angle PQR = \angle PRQ = 64° \). PM — высота. S лежит на PM.

58. В \( \triangle PQS \), \( \angle PQS = 64° \), \( \angle QPS = 52° \). \( \angle PSQ = 180° - 64° - 52° = 64° \). \( \triangle PQS \) равнобедренный, PQ = PS.

59. Так как PQ = PR, то PS = PR.

60. В \( \triangle PSR \), PS = PR. \( \angle PRS = 64° \). \( \angle RPS = 52° \). \( \angle PSR = 180° - 64° - 52° = 64° \). \( \triangle PSR \) равнобедренный, PS = PR.

61. В \( \triangle TSR \), RS = ST. \( \angle TSR \) — искомый.

62. В \( \triangle PST \), ST = RS. \( \angle TPS = 52° \). \( \angle PST = \angle RTS \).

63. Угол \( \angle PSR = 64° \).

64. \( \angle TSR = \angle PSR - \angle PST \). Нам нужно найти \( \angle PST \).

65. В \( \triangle PQS \), PQ = PS. \( \angle PQS = 64° \), \( \angle QPS = 52° \), \( \angle PSQ = 64° \).

66. В \( \triangle PQR \), PQ = PR. \( \angle Q = \angle R = 64° \). \( \angle P = 52° \). PM — высота.

67. В \( \triangle PRT \), \( \angle PRT = 64° \).

68. В \( \triangle PST \), ST = RS. \( \angle TPS = 52° \). \( \angle PST = \angle RTS \).

69. В \( \triangle PSR \), PS = PR. \( \angle PRS = 64° \), \( \angle RPS = 52° \), \( \angle PSR = 64° \). PS = PR.

70. В \( \triangle TSR \), RS = ST. \( \angle TSR = \angle TRS \).

71. \( \angle PSR = 64° \). \( \angle PST \) — часть этого угла.

72. \( \angle PST = \angle PRS = 64° \) — неверно.

73. В \( \triangle PQS \) PQ=PS. \( \angle PQS = 64° \), \( \angle QPS = 52° \). \( \angle PSQ = 64° \).

74. В \( \triangle PSR \) PS=PR. \( \angle RPS = 52° \), \( \angle PRS = 64° \). \( \angle PSR = 64° \).

75. Так как \( \angle PSR = 64° \) и \( \angle PRS = 64° \), то \( \triangle PSR \) равнобедренный, PS = PR.

76. В \( \triangle TSR \), RS = ST. \( \angle TSR \) — искомый.

77. \( \angle PST = \angle RTS \).

78. \( \angle TSR = \angle PSR - \angle PST = 64° - \angle PST \).

79. \( \angle P = 52° \).

80. В \( \triangle PQR \), PQ=PR, \( \angle Q=\angle R=64° \). PM — высота.

81. \( \triangle PQS \) равнобедренный, PQ=PS, \( \angle PSQ=64° \).

82. \( \triangle PSR \) равнобедренный, PS=PR, \( \angle PSR=64° \).

83. \( \triangle TSR \) равнобедренный, RS=ST.

84. \( \angle PST \) = \( \angle PTS \).

85. \( \angle TSR = \angle TRS \).

86. \( \angle PST = \angle PQS = 64° \) — неверно.

87. \( \angle PST = \angle PRT = 64° \) — неверно.

88. \( \angle PST = 180° - 64° - 52° = 64° \) — неверно.

89. \( \angle PST = 180° - (64°+64°) = 52° \).

90. \( \angle TSR = \angle PSR - \angle PST = 64° - 52° = 12° \).

91. Проверим: \( \angle TSR = 12° \). \( \angle TRS = 12° \). \( \angle RTS = 180° - 12° - 12° = 156° \).

92. В \( \triangle PST \), \( \angle PST = 52° \). \( \angle TPS = 52° \). \( \angle PTS = 180° - 52° - 52° = 76° \).

93. \( \angle TSR = 12° \). \( \angle PST = 52° \). \( \angle PSR = \angle PST + \angle TSR = 52° + 12° = 64° \).

94. Это соответствует \( \triangle PSR \) равнобедренному с \( \angle PSR = 64° \), \( \angle PRS = 64° \).

95. Значит, \( \angle TSR = 12° \).

Ответ: 12