Третья задача: Упростите выражение: a) \( \sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \) b) \( \frac{1}{\cos\alpha} - \cos\alpha = \) в) \( (1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha) = \) г) \( \sin\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \) д) \( \frac{\sin\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 + \cos\alpha} = \) e) \( (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha) \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \) ж) \( \frac{1}{1+\sin\alpha} + \frac{1}{1-\sin\alpha} = \)

Question

Вопрос:

Третья задача: Упростите выражение: a) \( \sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \) b) \( \frac{1}{\cos\alpha} - \cos\alpha = \) в) \( (1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha) = \) г) \( \sin\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \) д) \( \frac{\sin\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 + \cos\alpha} = \) e) \( (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha) \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \) ж) \( \frac{1}{1+\sin\alpha} + \frac{1}{1-\sin\alpha} = \)

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

а) Упростим выражение:

\( \sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \)

б) Упростим выражение:

\( \frac{1}{\cos\alpha} - \cos\alpha = \frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} \)

в) Упростим выражение:

\( (1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha \)

г) Упростим выражение:

\( \sin\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha \)

д) Упростим выражение:

\( \frac{\sin\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 + \cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 + \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha(\cos\alpha + 1)}{\cos\alpha(1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha \)

е) Упростим выражение:

\( (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha) \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = (\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos\alpha \sin\alpha} \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{1}{\cos\alpha \sin\alpha} \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = 1 \)

ж) Упростим выражение:

\( \frac{1}{1+\sin\alpha} + \frac{1}{1-\sin\alpha} = \frac{(1-\sin\alpha) + (1+\sin\alpha)}{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)} = \frac{1-\sin\alpha + 1+\sin\alpha}{1-\sin^2\alpha} = \frac{2}{\cos^2\alpha} = 2\operatorname{sec}^2\alpha \)

Ответ: а) \( \sin^2\alpha \); б) \( \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} \); в) \( \cos^2\alpha \); г) \( \cos\alpha \); д) \( \operatorname{tg}\alpha \); е) \( 1 \); ж) \( \frac{2}{\cos^2\alpha} \) или \( 2\operatorname{sec}^2\alpha \).