Тренировочный вариант (Подготовка к контрольной) 1. Задачи на І признак (по двум углам) А) В треугольнике А ВС на стороне АВ отмечена точка К, а на стороне ВС - точка М так, что ВКМ = ∠C. Докажите, что ВКМ ~ABCA. Б) Высота прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе АВ, делит его на два треугольника ACD и BCD. Докажите, что △ACD ~ △CBD. Найдите сторону BD, если CD = 6 см, а AD = 4 см. 2. Задача на II признак (по двум сторонам и углу между ними) Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Известно, что АО = 12 см, ВО = 4 см, СО = 30 см, DO = 10 см. Докажите, что △AOC~△BOD. Найдите угол ∠OAC, если ZOBD = 55°. 3. Задача на III признак (по трем сторонам) Даны два треугольника. Стороны первого равны 14 см, 21 см и 28 см. Стороны второго треугольника относятся как 2: 3: 4. Подобны ли эти треугольники? Найдите периметр второго треугольника, если его меньшая сторона равна 10 см. 4. Задача на нахождение площади подобных треугольников Периметры двух подобных треугольников относятся как 3: 5. Площадь большего треугольника равна 75 см2. Найдите площадь меньшего треугольника.

Привет! Сейчас я помогу тебе решить эти задачи. Будем внимательно разбирать каждую из них, чтобы все стало понятно.

1. Задачи на I признак (по двум углам)

А) В треугольнике \( ABC \) на стороне \( AB \) отмечена точка \( K \), а на стороне \( BC \) — точка \( M \) так, что \( \angle BKM = \angle C \). Докажите, что \( \triangle BKM \sim \triangle BCA \).

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle BKM \) и \( \triangle BCA \). У них:

1. \( \angle B \) — общий.
2. \( \angle BKM = \angle C \) (по условию).

Следовательно, \( \triangle BKM \sim \triangle BCA \) по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Б)

Высота прямоугольного треугольника \( ABC \), проведённая к гипотенузе \( AB \), делит его на два треугольника \( ACD \) и \( BCD \). Докажите, что \( \triangle ACD \sim \triangle CBD \). Найдите сторону \( BD \), если \( CD = 6 \) см, а \( AD = 4 \) см.

Решение:

1. Докажем, что \( \triangle ACD \sim \triangle CBD \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \), \( CD \) — высота, проведённая к гипотенузе \( AB \). Следовательно, \( \angle ADC = \angle CDB = 90^\circ \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ACD \) и \( \triangle CBD \):

• \( \angle ADC = \angle CDB = 90^\circ \)
• \( \angle A = 90^\circ - \angle C \)
• \( \angle BCD = 90^\circ - \angle C \)
• Следовательно, \( \angle A = \angle BCD \)

Таким образом, \( \triangle ACD \sim \triangle CBD \) по двум углам (\( \angle ADC = \angle CDB \) и \( \angle A = \angle BCD \)).

2. Найдем сторону \( BD \).

Так как \( \triangle ACD \sim \triangle CBD \), то соответствующие стороны пропорциональны:

\[ \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{4}{6} = \frac{6}{BD} \]

Решим уравнение для \( BD \):

\[ BD = \frac{6 \times 6}{4} = \frac{36}{4} = 9 \]

Итак, \( BD = 9 \) см.

2. Задача на II признак (по двум сторонам и углу между ними)

Отрезки \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( O \). Известно, что \( AO = 12 \) см, \( BO = 4 \) см, \( CO = 30 \) см, \( DO = 10 \) см.

Докажите, что \( \triangle AOC \sim \triangle BOD \).

Найдите угол \( \angle OAC \), если \( \angle OBD = 55^\circ \).

Решение:

1. Докажем, что \( \triangle AOC \sim \triangle BOD \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \):

• \( \angle AOC = \angle BOD \) (как вертикальные углы).

Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам:

\[ \frac{AO}{BO} = \frac{12}{4} = 3 \] \[ \frac{CO}{DO} = \frac{30}{10} = 3 \]

Так как \( \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \), то стороны пропорциональны.

Следовательно, \( \triangle AOC \sim \triangle BOD \) по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

2. Найдем угол \( \angle OAC \).

Так как \( \triangle AOC \sim \triangle BOD \), то соответствующие углы равны:

\[ \angle OAC = \angle OBD = 55^\circ \]

Итак, \( \angle OAC = 55^\circ \).

3. Задача на III признак (по трем сторонам)

Даны два треугольника. Стороны первого равны 14 см, 21 см и 28 см. Стороны второго треугольника относятся как 2:3:4.

Подобны ли эти треугольники?

Найдите периметр второго треугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.

Решение:

1. Проверим, подобны ли треугольники.

Стороны первого треугольника: \( a_1 = 14 \) см, \( b_1 = 21 \) см, \( c_1 = 28 \) см.

Стороны второго треугольника относятся как 2:3:4, обозначим их как \( a_2 = 2x \), \( b_2 = 3x \), \( c_2 = 4x \).

Проверим пропорциональность сторон:

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{14}{2x} = \frac{7}{x} \] \[ \frac{b_1}{b_2} = \frac{21}{3x} = \frac{7}{x} \] \[ \frac{c_1}{c_2} = \frac{28}{4x} = \frac{7}{x} \]

Так как отношения всех сторон равны, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), то треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем пропорциональным сторонам).

2. Найдем периметр второго треугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.

Меньшая сторона второго треугольника: \( a_2 = 2x = 10 \) см.

Отсюда \( x = \frac{10}{2} = 5 \) см.

Тогда стороны второго треугольника:

\[ a_2 = 10 \text{ см}, \quad b_2 = 3x = 3 \times 5 = 15 \text{ см}, \quad c_2 = 4x = 4 \times 5 = 20 \text{ см} \]

Периметр второго треугольника:

\[ P_2 = a_2 + b_2 + c_2 = 10 + 15 + 20 = 45 \text{ см} \]

Итак, периметр второго треугольника равен 45 см.

4. Задача на нахождение площади подобных треугольников

Периметры двух подобных треугольников относятся как 3:5. Площадь большего треугольника равна 75 см². Найдите площадь меньшего треугольника.

Решение:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия \( k \):

\[ \frac{P_1}{P_2} = k = \frac{3}{5} \]

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \]

Площадь большего треугольника: \( S_2 = 75 \) см².

Найдем площадь меньшего треугольника \( S_1 \):

\[ \frac{S_1}{75} = \frac{9}{25} \] \[ S_1 = \frac{9 \times 75}{25} = 9 \times 3 = 27 \]

Итак, площадь меньшего треугольника равна 27 см².