Тренировочная работа №7. 8 класс. 1 вариант. 1. Докажите неравенство: a)(x-2)² > x(x-2); 6)a² +1≥2(3a-4). 2. Известно, что а < b. Сравните: a)21a u 21b; 6) -3,2а и-3,2b; в)1,56 и 1,5a. 3. Известно, что 2,6 <√7 < 2,7. Оцените: a)2√7; 6)-√7. 4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и в см, если известно, что 2,6<a<2,7, 1,2 <b<1,3. 5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и тоже число а. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов. Тренировочная работа №7. 8 класс. 2 вариант. 1. Докажите неравенство: a)(x+7)² > x(x+14); 6)b² +5≥10(b-2). 2. Известно, что а > b. Сравните: a)18a u 18b; б) -6,7а и-6,7b; в)3,56 и 3,5а. 3. Известно, что 3,1 <√10 < 3,2. Оцените: a)3/10; 6)-√10. 4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и в см, если известно, что 1,5 < a < 1,6, 3,2 < b < 3,3. 5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и тоже число а. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

Тренировочная работа №7. 8 класс. 1 вариант.

1. Докажите неравенство:

a) \((x-2)^2 > x(x-4)\)

Раскрываем скобки:

\[x^2 - 4x + 4 > x^2 - 4x\]

Упрощаем:

\[4 > 0\]

Неравенство верно, что и требовалось доказать.

б) \(a^2 + 1 \ge 2(3a - 4)\)

Раскрываем скобки:

\[a^2 + 1 \ge 6a - 8\]

Переносим все в левую часть:

\[a^2 - 6a + 9 \ge 0\]

Выражение можно свернуть в квадрат разности:

\[(a - 3)^2 \ge 0\]

Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, что и требовалось доказать.

2. Известно, что \(a < b\). Сравните:

a) \(21a \) и \(21b\)

Так как \(a < b\) и \(21 > 0\), то \(21a < 21b\)

б) \(-3.2a \) и \(-3.2b\)

Так как \(a < b\) и \(-3.2 < 0\), то \(-3.2a > -3.2b\)

в) \(1.5b \) и \(1.5a\)

Так как \(a < b\) и \(1.5 > 0\), то \(1.5b > 1.5a\)

3. Известно, что \(2.6 < \sqrt{7} < 2.7\). Оцените:

a) \(2\sqrt{7}\)

Умножаем все части неравенства на 2:

\[2 \cdot 2.6 < 2\sqrt{7} < 2 \cdot 2.7\]

\[5.2 < 2\sqrt{7} < 5.4\]

б) \(-\sqrt{7}\)

Умножаем все части неравенства на -1 (знаки меняются):

\[-2.6 > -\sqrt{7} > -2.7\]

\[-2.7 < -\sqrt{7} < -2.6\]

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами \(a\) см и \(b\) см, если известно, что \(2.6 < a < 2.7\), \(1.2 < b < 1.3\).

Периметр прямоугольника: \(P = 2(a + b)\)

Площадь прямоугольника: \(S = a \cdot b\)

Оценка периметра:

\[2.6 + 1.2 < a + b < 2.7 + 1.3\]

\[3.8 < a + b < 4\]

\[2 \cdot 3.8 < 2(a + b) < 2 \cdot 4\]

\[7.6 < P < 8\]

Оценка площади:

\[2.6 \cdot 1.2 < a \cdot b < 2.7 \cdot 1.3\]

\[3.12 < S < 3.51\]

5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и тоже число \(a\). Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

Получившиеся числа: \(2+a, 3+a, 4+a, 5+a\)

Произведение крайних членов: \((2+a)(5+a) = 10 + 7a + a^2\)

Произведение средних членов: \((3+a)(4+a) = 12 + 7a + a^2\)

Сравнение:

\[10 + 7a + a^2 < 12 + 7a + a^2\]

\[10 < 12\]

Произведение крайних членов меньше произведения средних членов.

Тренировочная работа №7. 8 класс. 2 вариант.

1. Докажите неравенство:

a) \((x+7)^2 > x(x+14)\)

Раскрываем скобки:

\[x^2 + 14x + 49 > x^2 + 14x\]

Упрощаем:

\[49 > 0\]

Неравенство верно, что и требовалось доказать.

б) \(b^2 + 5 \ge 10(b - 2)\)

Раскрываем скобки:

\[b^2 + 5 \ge 10b - 20\]

Переносим все в левую часть:

\[b^2 - 10b + 25 \ge 0\]

Выражение можно свернуть в квадрат разности:

\[(b - 5)^2 \ge 0\]

Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, что и требовалось доказать.

2. Известно, что \(a > b\). Сравните:

a) \(18a \) и \(18b\)

Так как \(a > b\) и \(18 > 0\), то \(18a > 18b\)

б) \(-6.7a \) и \(-6.7b\)

Так как \(a > b\) и \(-6.7 < 0\), то \(-6.7a < -6.7b\)

в) \(3.5b \) и \(3.5a\)

Так как \(a > b\) и \(3.5 > 0\), то \(3.5b < 3.5a\)

3. Известно, что \(3.1 < \sqrt{10} < 3.2\). Оцените:

a) \(3\sqrt{10}\)

Умножаем все части неравенства на 3:

\[3 \cdot 3.1 < 3\sqrt{10} < 3 \cdot 3.2\]

\[9.3 < 3\sqrt{10} < 9.6\]

б) \(-\sqrt{10}\)

Умножаем все части неравенства на -1 (знаки меняются):

\[-3.1 > -\sqrt{10} > -3.2\]

\[-3.2 < -\sqrt{10} < -3.1\]

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами \(a\) см и \(b\) см, если известно, что \(1.5 < a < 1.6\), \(3.2 < b < 3.3\).

Периметр прямоугольника: \(P = 2(a + b)\)

Площадь прямоугольника: \(S = a \cdot b\)

Оценка периметра:

\[1.5 + 3.2 < a + b < 1.6 + 3.3\]

\[4.7 < a + b < 4.9\]

\[2 \cdot 4.7 < 2(a + b) < 2 \cdot 4.9\]

\[9.4 < P < 9.8\]

Оценка площади:

\[1.5 \cdot 3.2 < a \cdot b < 1.6 \cdot 3.3\]

\[4.8 < S < 5.28\]

5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и тоже число \(a\). Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

Получившиеся числа: \(6+a, 5+a, 4+a, 3+a\)

Произведение крайних членов: \((6+a)(3+a) = 18 + 9a + a^2\)

Произведение средних членов: \((5+a)(4+a) = 20 + 9a + a^2\)

Сравнение:

\[18 + 9a + a^2 < 20 + 9a + a^2\]

\[18 < 20\]

Произведение крайних членов меньше произведения средних членов.

Ответ: смотри решение ниже.