Тренажер «Решение систем уравнений методом подстановки»

Вариант 1

a)

\(\begin{cases}x = 2y - 5 \\ 3x + 4y = 7\end{cases}\)

Подставим значение x из первого уравнения во второе:

\(3(2y - 5) + 4y = 7\)

\(6y - 15 + 4y = 7\)

\(10y = 22\)

\(y = 2.2\)

Теперь найдем x:

\(x = 2(2.2) - 5 = 4.4 - 5 = -0.6\)

Ответ: x = -0.6, y = 2.2

б)

\(\begin{cases}y + 2x = 5 \\ 3y + 4x = 3\end{cases}\)

Выразим y из первого уравнения: \(y = 5 - 2x\)

Подставим во второе уравнение:

\(3(5 - 2x) + 4x = 3\)

\(15 - 6x + 4x = 3\)

\(-2x = -12\)

\(x = 6\)

Теперь найдем y:

\(y = 5 - 2(6) = 5 - 12 = -7\)

Ответ: x = 6, y = -7

в)

\(\begin{cases}8x - 4y = 9 \\ 7x + 2y = 6.5\end{cases}\)

Умножим второе уравнение на 2:

\(\begin{cases}8x - 4y = 9 \\ 14x + 4y = 13\end{cases}\)

Сложим два уравнения:

\(22x = 22\)

\(x = 1\)

Теперь найдем y:

\(8(1) - 4y = 9\)

\(-4y = 1\)

\(y = -0.25\)

Ответ: x = 1, y = -0.25

г)

\(\begin{cases}x - y = 7 \\ 3x + 5y = 45\end{cases}\)

Выразим x из первого уравнения: \(x = y + 7\)

Подставим во второе уравнение:

\(3(y + 7) + 5y = 45\)

\(3y + 21 + 5y = 45\)

\(8y = 24\)

\(y = 3\)

Теперь найдем x:

\(x = 3 + 7 = 10\)

Ответ: x = 10, y = 3

Вариант 2

a)

\(\begin{cases}x = 3y + 1 \\ 5x - 2y = 18\end{cases}\)

Подставим значение x из первого уравнения во второе:

\(5(3y + 1) - 2y = 18\)

\(15y + 5 - 2y = 18\)

\(13y = 13\)

\(y = 1\)

Теперь найдем x:

\(x = 3(1) + 1 = 4\)

Ответ: x = 4, y = 1

б)

\(\begin{cases}x + 3y = 9 \\ 2x + 4y = 24\end{cases}\)

Выразим x из первого уравнения: \(x = 9 - 3y\)

Подставим во второе уравнение:

\(2(9 - 3y) + 4y = 24\)

\(18 - 6y + 4y = 24\)

\(-2y = 6\)

\(y = -3\)

Теперь найдем x:

\(x = 9 - 3(-3) = 9 + 9 = 18\)

Ответ: x = 18, y = -3

в)

\(\begin{cases}7x - 3y = 21 \\ 7x + 2y = 26\end{cases}\)

Вычтем первое уравнение из второго:

\(5y = 5\)

\(y = 1\)

Теперь найдем x:

\(7x - 3(1) = 21\)

\(7x = 24\)

\(x = \frac{24}{7}\)

Ответ: x = \(\frac{24}{7}\), y = 1

г)

\(\begin{cases}x - y = 9 \\ 6x + 5y = 65\end{cases}\)

Выразим x из первого уравнения: \(x = y + 9\)

Подставим во второе уравнение:

\(6(y + 9) + 5y = 65\)

\(6y + 54 + 5y = 65\)

\(11y = 11\)

\(y = 1\)

Теперь найдем x:

\(x = 1 + 9 = 10\)

Ответ: x = 10, y = 1

Вариант 3

a)

\(\begin{cases}y = 2x - 3 \\ 4x + 6y = 14\end{cases}\)

Подставим значение y из первого уравнения во второе:

\(4x + 6(2x - 3) = 14\)

\(4x + 12x - 18 = 14\)

\(16x = 32\)

\(x = 2\)

Теперь найдем y:

\(y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1\)

Ответ: x = 2, y = 1

б)

\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 6x - 3y = 66\end{cases}\)

Выразим x из первого уравнения: \(x = 5 - y\)

Подставим во второе уравнение:

\(6(5 - y) - 3y = 66\)

\(30 - 6y - 3y = 66\)

\(-9y = 36\)

\(y = -4\)

Теперь найдем x:

\(x = 5 - (-4) = 9\)

Ответ: x = 9, y = -4

в)

\(\begin{cases}2x - 3y = 7 \\ 3x + 4y = 19\end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 4 и второе на 3:

\(\begin{cases}8x - 12y = 28 \\ 9x + 12y = 57\end{cases}\)

Сложим два уравнения:

\(17x = 85\)

\(x = 5\)

Теперь найдем y:

\(2(5) - 3y = 7\)

\(10 - 3y = 7\)

\(-3y = -3\)

\(y = 1\)

Ответ: x = 5, y = 1

г)

\(\begin{cases}x - 5y = -8 \\ 3x + 3y = 12\end{cases}\)

Выразим x из первого уравнения: \(x = 5y - 8\)

Подставим во второе уравнение:

\(3(5y - 8) + 3y = 12\)

\(15y - 24 + 3y = 12\)

\(18y = 36\)

\(y = 2\)

Теперь найдем x:

\(x = 5(2) - 8 = 10 - 8 = 2\)

Ответ: x = 2, y = 2

Вариант 4

a)

\(\begin{cases}y = x + 7 \\ 5x - 2y = 1\end{cases}\)

Подставим значение y из первого уравнения во второе:

\(5x - 2(x + 7) = 1\)

\(5x - 2x - 14 = 1\)

\(3x = 15\)

\(x = 5\)

Теперь найдем y:

\(y = 5 + 7 = 12\)

Ответ: x = 5, y = 12

б)

\(\begin{cases}2x - y = -6 \\ 3x + 2y = 26\end{cases}\)

Выразим y из первого уравнения: \(y = 2x + 6\)

Подставим во второе уравнение:

\(3x + 2(2x + 6) = 26\)

\(3x + 4x + 12 = 26\)

\(7x = 14\)

\(x = 2\)

Теперь найдем y:

\(y = 2(2) + 6 = 4 + 6 = 10\)

Ответ: x = 2, y = 10

в)

\(\begin{cases}3x + 2y = 5 \\ 7x - 5y = 2\end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 5 и второе на 2:

\(\begin{cases}15x + 10y = 25 \\ 14x - 10y = 4\end{cases}\)

Сложим два уравнения:

\(29x = 29\)

\(x = 1\)

Теперь найдем y:

\(3(1) + 2y = 5\)

\(2y = 2\)

\(y = 1\)

Ответ: x = 1, y = 1

г)

\(\begin{cases}8x + y = 19 \\ 6x - 7y = \end{cases}\)

Выразим y из первого уравнения: \(y = 19 - 8x\)

Подставим во второе уравнение:

\(6x - 7(19 - 8x) = \)

Дальнейшее решение невозможно, так как не указано значение во втором уравнении.

Вариант 5

a)

\(\begin{cases}x = 3y - 2 \\ 7x + 2y = 9\end{cases}\)

Подставим значение x из первого уравнения во второе:

\(7(3y - 2) + 2y = 9\)

\(21y - 14 + 2y = 9\)

\(23y = 23\)

\(y = 1\)

Теперь найдем x:

\(x = 3(1) - 2 = 1\)

Ответ: x = 1, y = 1

б)

\(\begin{cases}2x - y = 1 \\ 3x + 2y = 12\end{cases}\)

Выразим y из первого уравнения: \(y = 2x - 1\)

Подставим во второе уравнение:

\(3x + 2(2x - 1) = 12\)

\(3x + 4x - 2 = 12\)

\(7x = 14\)

\(x = 2\)

Теперь найдем y:

\(y = 2(2) - 1 = 3\)

Ответ: x = 2, y = 3

в)

\(\begin{cases}5x + 7y = 20 \\ 3x - 8y = -12.4\end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 8 и второе на 7:

\(\begin{cases}40x + 56y = 160 \\ 21x - 56y = -86.8\end{cases}\)

Сложим два уравнения:

\(61x = 73.2\)

\(x = 1.2\)

Теперь найдем y:

\(5(1.2) + 7y = 20\)

\(6 + 7y = 20\)

\(7y = 14\)

\(y = 2\)

Ответ: x = 1.2, y = 2

г)

\(\begin{cases}x - 5y = -17 \\ 9x + 2y = -12\end{cases}\)

Выразим x из первого уравнения: \(x = 5y - 17\)

Подставим во второе уравнение:

\(9(5y - 17) + 2y = -12\)

\(45y - 153 + 2y = -12\)

\(47y = 141\)

\(y = 3\)

Теперь найдем x:

\(x = 5(3) - 17 = -2\)

Ответ: x = -2, y = 3

Вариант 6

a)

\(\begin{cases}y = 3x - 5 \\ 4x + y = 9\end{cases}\)

Подставим значение y из первого уравнения во второе:

\(4x + (3x - 5) = 9\)

\(7x = 14\)

\(x = 2\)

Теперь найдем y:

\(y = 3(2) - 5 = 1\)

Ответ: x = 2, y = 1

б)

\(\begin{cases}3x + y = 7 \\ 4x - 5y = 3\end{cases}\)

Выразим y из первого уравнения: \(y = 7 - 3x\)

Подставим во второе уравнение:

\(4x - 5(7 - 3x) = 3\)

\(4x - 35 + 15x = 3\)

\(19x = 38\)

\(x = 2\)

Теперь найдем y:

\(y = 7 - 3(2) = 1\)

Ответ: x = 2, y = 1

в)

\(\begin{cases}7x + 14y = 21 \\ 4x - 5y = -1\end{cases}\)

Сократим первое уравнение на 7:

\(\begin{cases}x + 2y = 3 \\ 4x - 5y = -1\end{cases}\)

Выразим x из первого уравнения: \(x = 3 - 2y\)

Подставим во второе уравнение:

\(4(3 - 2y) - 5y = -1\)

\(12 - 8y - 5y = -1\)

\(-13y = -13\)

\(y = 1\)

Теперь найдем x:

\(x = 3 - 2(1) = 1\)

Ответ: x = 1, y = 1

г)

\(\begin{cases}4x + y = 12 \\ 6x - 7y = 86\end{cases}\)

Выразим y из первого уравнения: \(y = 12 - 4x\)

Подставим во второе уравнение:

\(6x - 7(12 - 4x) = 86\)

\(6x - 84 + 28x = 86\)

\(34x = 170\)

\(x = 5\)

Теперь найдем y:

\(y = 12 - 4(5) = -8\)

Ответ: x = 5, y = -8