Трапеция FKME вписана в окружность. Используя указанные на чертеже данные, найдите величину отрезка ОМ, являющегося радиусом описанной окружности. В ответе укажите величину радиуса окружности, умноженную на √2.

Решение:

На чертеже изображена трапеция FKME, вписанная в окружность с центром в точке O.

Нам даны длины некоторых отрезков:

• KM = 2
• ME = 10
• EF = 14

Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Следовательно, боковые стороны трапеции равны: FK = ME = 10.

Чтобы найти радиус описанной окружности, мы можем использовать свойство трапеции, вписанной в окружность:

Произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Однако, проще использовать формулу для радиуса описанной окружности треугольника, например, треугольника KME:

\[R = \frac{abc}{4S}\]

где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.

Найдем площадь треугольника KME. Для этого нам понадобится высота трапеции.

Проведем высоты из вершин K и M на основание EF. Пусть эти точки будут H1 и H2 соответственно.

Тогда EH2 = (EF - KM) / 2 = (14 - 2) / 2 = 6.

В прямоугольном треугольнике MEH2, ME = 10, EH2 = 6. По теореме Пифагора:

\[MH_2^2 = ME^2 - EH_2^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\]

MH_2 = \sqrt{64} = 8. Это высота трапеции.

Площадь трапеции FKME = (KM + EF) / 2 * MH_2 = (2 + 14) / 2 * 8 = 16 / 2 * 8 = 8 * 8 = 64.

Теперь рассмотрим треугольник KME. Его стороны: KM = 2, ME = 10.

Найдем длину диагонали KE. В прямоугольном треугольнике KEH1, KH1 = 8, EH1 = EF - EH2 = 14 - 6 = 8.

\[KE^2 = KH_1^2 + EH_1^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128\]

KE = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}.

Теперь найдем площадь треугольника KME. Основание KM = 2. Высота, опущенная из E на прямую KM (продолжение KM), равна высоте трапеции, то есть 8.

Площадь треугольника KME = 1/2 * KM * высота = 1/2 * 2 * 8 = 8.

Теперь найдем радиус описанной окружности для треугольника KME:

\[R = \frac{KM \cdot ME \cdot KE}{4 \cdot S_{KME}} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 8\sqrt{2}}{4 \cdot 8} = \frac{160\sqrt{2}}{32} = 5\sqrt{2}\]

Таким образом, радиус описанной окружности R = 5\sqrt{2}.

В ответе нужно указать величину радиуса, умноженную на \(\sqrt{2}\):

\[5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10\]

Ответ: 10